斜率
xié lǜ
斜率用任意两点间竖直变化量与水平变化量之比，衡量一条直线的陡峭程度和方向。
Formula
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Definition
斜率告诉你一条直线有多陡以及它朝哪个方向延伸：正斜率从左到右向上攀升，负斜率从左到右向下倾斜，数值越大表示直线越陡。严格地说，经过点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 的直线的斜率 $m$ 为 $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$（前提是 $x_2$ 不等于 $x_1$），无论在直线上选取哪两个点，这个比值都相同，这使得斜率成为 $y$ 相对于 $x$ 的变化率。从几何上看，斜率等于直线与 x 轴正方向所成角的正切值，$m = \tan\theta$，当直线写成 $y = mx + b$ 时，它就是 $x$ 的系数。平行线的斜率相同，垂直线（当两者的斜率都存在时）的斜率之积为 $-1$。
Example
一条每前进 $1$ 英尺就上升 $3$ 英尺的滑雪道，其斜率为 $3$；一条每 $4$ 英尺下降 $1$ 英尺的坡道，其斜率为 $-1/4$。在点 $(1, 2)$ 和 $(4, 8)$ 之间，$m = (8 - 2)/(4 - 1) = 6/3 = 2$，所以每向右移动 $1$ 个单位，$y$ 就增加 $2$。斜率 $m = 3/4$ 的直线与 x 轴所成的角为 $\theta = \arctan(3/4) \approx 36.87^\circ$，与它垂直的直线斜率为 $-4/3$。
Key Insight
可以把斜率理解为"竖直变化量除以水平变化量"：每向右迈一步，你会向上（或向下）移动多远。如果 $y$ 表示距离，$x$ 表示时间，那么斜率就是速度，这正是微积分导数背后的同一个概念；更一般地，斜率可以推广为多元微积分中的梯度向量，在线性映射 $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 中，它恰好就是那个 $1 \times 1$ 的矩阵元素，将代数与线性变换直接联系起来。