Pendiente
La pendiente mide la inclinación y la dirección de una línea como la razón entre el cambio vertical y el cambio horizontal entre dos puntos cualesquiera.
Formula
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Definition
La pendiente indica qué tan inclinada es una línea y en qué dirección corre: una pendiente positiva sube de izquierda a derecha, una pendiente negativa baja, y una magnitud mayor significa una línea más empinada. Formalmente, la pendiente $m$ de una línea que pasa por los puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ (siempre que $x_2$ no sea igual a $x_1$), y esta razón es la misma sin importar qué dos puntos de la línea elijas, lo que convierte a la pendiente en la razón de cambio de $y$ con respecto a $x$. Geométricamente, la pendiente es igual a la tangente del ángulo que la línea forma con el eje x positivo, $m = \tan\theta$, y es el coeficiente de $x$ cuando la línea se escribe como $y = mx + b$. Las líneas paralelas comparten la misma pendiente, y las líneas perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es $-1$ (cuando ambas están definidas).
Example
Una pista de esquí que sube $3$ pies por cada $1$ pie hacia adelante tiene pendiente $3$; una rampa que baja $1$ pie en $4$ pies tiene pendiente $-1/4$. Entre los puntos $(1, 2)$ y $(4, 8)$, $m = (8 - 2)/(4 - 1) = 6/3 = 2$, así que por cada $1$ unidad hacia la derecha, $y$ aumenta en $2$. Una línea con pendiente $m = 3/4$ forma un ángulo $\theta = \arctan(3/4) \approx 36.87^\circ$ con el eje x, y su perpendicular tiene pendiente $-4/3$.
Key Insight
Piensa en la pendiente como "elevación sobre desplazamiento": qué tanto subes (o bajas) por cada paso hacia la derecha. Si $y$ representa distancia y $x$ representa tiempo, la pendiente es la velocidad, la misma idea que impulsa las derivadas en cálculo; más generalmente, la pendiente se generaliza al vector gradiente en el cálculo de varias variables, y en una aplicación lineal $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es exactamente la entrada de la matriz $1 \times 1$, conectando el álgebra directamente con las transformaciones lineales.