偏度
piān dù
偏度描述数据分布的不对称程度，表明尾部是在左侧还是右侧更长。
Definition
偏度描述一个数据分布是否不对称：右偏在右侧有一条长尾，左偏在左侧有一条长尾，对称分布则没有偏度。正（右）偏时均值 > 中位数 > 众数，负（左）偏时均值 < 中位数 < 众数。形式上，偏度是标准化的三阶中心矩：$\gamma_1 = \mu_3/\sigma^3$，其中 $\mu_3 = E[(X-\mu)^3]$；样本偏度估计量为 $g_1 = m_3/m_2^{3/2}$，其中 $m_k$ 是第 $k$ 阶样本中心矩。
Example
房价是右偏的：大多数房屋价格适中，但少数非常昂贵的豪宅在右侧形成一条长尾。年收入同样呈正偏态：大多数人收入适中，但少数高收入者在右侧形成一条长尾，将均值拉到中位数之上（这就是为什么人口普查报告的是家庭收入的中位数）。对于速率参数为 $\lambda$ 的指数分布，偏度 $= 2$（始终为正偏）；对于对数正态分布 $LN(\mu, \sigma^2)$，偏度 $= (e^{\sigma^2}+2)\sqrt{e^{\sigma^2}-1}$，随 $\sigma$ 增大而增大，这解释了为什么对右偏数据取对数变换往往能达到近似正态性。
Key Insight
当一个分布偏斜时，均值会被拉向尾部（异常值所在的方向），而中位数则更靠近数据的主体，因此中位数对偏斜数据更可靠；一个有用的记忆技巧是，偏度是以尾部的方向命名的，而非主体的方向（右偏分布的主体在左侧，尾部在右侧）。雅克-贝拉正态性检验同时使用偏度 $g_1$ 和超额峰度 $g_2$：$JB = n(g_1^2/6 + g_2^2/24)$，在正态性成立时服从自由度为 $2$ 的卡方分布，为偏离正态分布提供了正式的检验方法。