Sesgo (Asimetría)
La asimetría describe la falta de simetría de una distribución de datos, indicando si la cola es más larga hacia la izquierda o hacia la derecha.
Definition
La asimetría describe si una distribución de datos está desbalanceada: un sesgo a la derecha tiene una cola larga a la derecha, un sesgo a la izquierda tiene una cola larga a la izquierda, y una distribución simétrica no tiene sesgo. El sesgo positivo (a la derecha) tiene media > mediana > moda, mientras que el sesgo negativo (a la izquierda) tiene media < mediana < moda. Formalmente, la asimetría es el tercer momento central estandarizado: $\gamma_1 = \mu_3/\sigma^3$, donde $\mu_3 = E[(X-\mu)^3]$; el estimador muestral de asimetría es $g_1 = m_3/m_2^{3/2}$, donde $m_k$ es el $k$-ésimo momento central muestral.
Example
Los precios de vivienda están sesgados a la derecha: la mayoría de las casas tienen un precio moderado, pero unas pocas mansiones muy caras crean una cola larga a la derecha. Los ingresos anuales también están sesgados positivamente: la mayoría de las personas tienen ingresos moderados, pero un pequeño número de personas con altos ingresos crea una cola larga a la derecha, jalando la media por encima de la mediana (razón por la cual el Censo reporta el ingreso mediano del hogar). Para una distribución exponencial con tasa $\lambda$, la asimetría $= 2$ (siempre sesgada positivamente); para una distribución log-normal $LN(\mu, \sigma^2)$, la asimetría $= (e^{\sigma^2}+2)\sqrt{e^{\sigma^2}-1}$, aumentando con $\sigma$, lo cual explica por qué transformar logarítmicamente datos sesgados a la derecha a menudo logra una normalidad aproximada.
Key Insight
Cuando una distribución está sesgada, la media es jalada hacia la cola (donde están los valores inusuales) mientras que la mediana permanece más cerca del grueso de los datos, así que la mediana es más confiable para datos sesgados; un truco útil de memoria es que el sesgo lleva el nombre de la dirección de la cola, no del grueso (una distribución sesgada a la derecha tiene su grueso a la izquierda y la cola a la derecha). La prueba de Jarque-Bera para la normalidad usa tanto la asimetría $g_1$ como el exceso de curtosis $g_2$: $JB = n(g_1^2/6 + g_2^2/24)$, que sigue una distribución chi-cuadrado con $2$ grados de libertad bajo normalidad, proporcionando una prueba formal de desviación respecto a la distribución normal.