正弦
zhèng xián
正弦是一个三角函数，定义为直角三角形中对边与斜边的比值。
Formula
\sin(\theta) = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}
Definition
正弦（记作 sin）比较的是直角三角形的高与斜边长度的比值，用来求缺失的边或角。对于直角三角形中的锐角 $\theta$，$\sin(\theta) = \text{opposite}/\text{hypotenuse}$；推广到单位圆上，$\sin(\theta)$ 是从正 $x$ 轴量起、角度为 $\theta$ 的圆上那一点的 $y$ 坐标。从分析学角度看，$\sin(x)$ 由幂级数 $\sum (-1)^n x^{2n+1} / (2n+1)!$ 定义，对所有 $x \in \mathbb{R}$ 都收敛，等价地也可以通过欧拉公式写成 $\sin(x) = \text{Im}(e^{ix})$；它是满足 $f''(x) = -f(x)$、$f(0) = 0$、$f'(0) = 1$ 的唯一解。
Example
在一个含 $30^\circ$ 角、斜边为 $10$ 的直角三角形中，$\sin(30^\circ) = 0.5$，所以对边 $= 0.5 \times 10 = 5$；同样，$\sin(45^\circ) = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$，这意味着 $45^\circ$ 三角形的对边约为斜边的 $70.7\%$。级数 $\sin(x) = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + \ldots$ 对所有实数 $x$ 都收敛，这正是计算器能够将正弦计算到任意精度的原理。
Key Insight
正弦值始终介于 $-1$ 和 $1$ 之间，它其实就是单位圆上一点相对于圆心的高度，这就是为什么 $\sin(0) = 0$、$\sin(90^\circ) = 1$、$\sin(180^\circ) = 0$、$\sin(270^\circ) = -1$。作为复指数的虚部，正弦把实分析、复分析和傅里叶理论联系在一起：每个 $L^2$ 周期函数都能唯一地分解为正弦和余弦分量。