Seno
El seno es una función trigonométrica definida como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.
Formula
\sin(\theta) = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}
Definition
El seno (escrito "sin") compara qué tan alto es un triángulo rectángulo con respecto a la longitud de su hipotenusa, y se usa para hallar un lado o ángulo desconocido. Para un ángulo agudo $\theta$ en un triángulo rectángulo, $\sin(\theta) = \text{opposite}/\text{hypotenuse}$; extendido al círculo unitario, $\sin(\theta)$ es la coordenada $y$ del punto sobre el círculo en el ángulo $\theta$ medido desde el eje $x$ positivo. Analíticamente, $\sin(x)$ se define mediante la serie de potencias $\sum (-1)^n x^{2n+1} / (2n+1)!$, convergente para todo $x \in \mathbb{R}$, y de manera equivalente como $\sin(x) = \text{Im}(e^{ix})$ mediante la fórmula de Euler; es la única solución de $f''(x) = -f(x)$ con $f(0) = 0$, $f'(0) = 1$.
Example
En un triángulo rectángulo con un ángulo de $30^\circ$ e hipotenusa $10$, $\sin(30^\circ) = 0.5$, así que el cateto opuesto $= 0.5 \times 10 = 5$; de manera similar, $\sin(45^\circ) = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$, lo que significa que el cateto opuesto de un triángulo de $45^\circ$ es aproximadamente el $70.7\%$ de la hipotenusa. La serie $\sin(x) = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + \ldots$ converge para todo $x$ real y es la forma en que las calculadoras evalúan el seno con precisión arbitraria.
Key Insight
El seno siempre está entre $-1$ y $1$, literalmente la altura de un punto en el círculo unitario por encima del centro, razón por la cual $\sin(0) = 0$, $\sin(90^\circ) = 1$, $\sin(180^\circ) = 0$ y $\sin(270^\circ) = -1$. Como parte imaginaria de la exponencial compleja, el seno conecta el análisis real, el análisis complejo y la teoría de Fourier: toda función periódica $L^2$ se descompone de manera única en componentes de seno y coseno.