相似比
xiāng sì bǐ
相似比是两个相似图形对应边长之间保持不变的比值。
Formula
k = \dfrac{\text{corresponding side of image}}{\text{corresponding side of original}}
Definition
相似比（也叫缩放因子 $k$）是把一个图形的每条边乘以后得到相似图形对应边的那个数，通过把像的任意一边除以原图对应的边求得：$k = \dfrac{\text{corresponding side of image}}{\text{corresponding side of original}}$。对于两个相似图形，长度和周长按 $k$ 缩放，面积按 $k^2$ 缩放，相似三维立体图形的体积按 $k^3$ 缩放。严格地说，$k$ 是相似变换 $T(x) = kRx + t$（其中 $R$ 是旋转/反射矩阵，$t$ 是平移向量）的特征值；对于相似多边形，$k = \sqrt{\text{Area}_{image} / \text{Area}_{original}}$，用复数表示时，直接相似变换是 $f(z) = az + b$，且 $|a| = k$。
Example
一个边长为 $2$、$3$、$4$ 的小三角形和一个边长为 $6$、$9$、$12$ 的相似大三角形，相似比为 $3$：大三角形的每条边都是小三角形对应边的 $3$ 倍。一辆模型车与真车的相似比为 $1:18$，如果真车长 $4.5$ m，模型车长为 $4.5/18 = 0.25$ m；如果真车引擎盖面积为 $2$ m$^2$，模型引擎盖面积为 $2/(18^2) = 0.0062$ m$^2$。对于面积为 $25$ cm$^2$ 和 $100$ cm$^2$ 的相似三角形，相似比为 $\sqrt{100/25} = 2$。
Key Insight
相似比对长度、周长和面积的影响各不相同：比值为 $3$ 会使长度变为 $3$ 倍，周长变为 $3$ 倍，但面积变为 $9$ 倍。建筑师的 $1:100$ 比例模型，面积比为 $1:10{,}000$，体积比为 $1:1{,}000{,}000$，这就是为什么当你想象真实建筑时，小模型看起来会不成比例地渺小。这种长度-面积-体积按 $k^1$、$k^2$、$k^3$ 缩放的规律，是物理学中量纲分析的基础，物理量在尺度变化下会按可预测的方式缩放。