Razón de Semejanza
La razón de semejanza es la razón constante entre las longitudes de los lados correspondientes de dos figuras semejantes.
Formula
k = \dfrac{\text{corresponding side of image}}{\text{corresponding side of original}}
Definition
La razón de semejanza (también llamada factor de escala $k$) es el número por el cual multiplicas cada lado de una figura para obtener el lado correspondiente de una figura semejante, hallado al dividir cualquier lado de la imagen entre el lado correspondiente del original: $k = \dfrac{\text{corresponding side of image}}{\text{corresponding side of original}}$. Para dos figuras semejantes, las longitudes y los perímetros escalan por $k$, las áreas escalan por $k^2$, y los volúmenes de sólidos 3D semejantes escalan por $k^3$. Formalmente, $k$ es el valor propio de la transformación de semejanza $T(x) = kRx + t$ (donde $R$ es una matriz de rotación/reflexión y $t$ un vector de traslación); para polígonos semejantes, $k = \sqrt{\text{Area}_{image} / \text{Area}_{original}}$, y en notación compleja una semejanza directa es $f(z) = az + b$ con $|a| = k$.
Example
Un triángulo pequeño con lados $2$, $3$, $4$ y un triángulo grande semejante con lados $6$, $9$, $12$ tienen razón de semejanza $3$: cada lado del triángulo grande es $3$ veces el lado correspondiente del pequeño. Un modelo de auto con razón de semejanza $1:18$ respecto al auto real, si el auto real mide $4.5$ m de largo, da un modelo de $4.5/18 = 0.25$ m de largo, y si el capó real tiene área $2$ m$^2$, el capó del modelo tiene área $2/(18^2) = 0.0062$ m$^2$. Para triángulos semejantes con áreas $25$ cm$^2$ y $100$ cm$^2$, la razón de semejanza es $\sqrt{100/25} = 2$.
Key Insight
La razón de semejanza afecta las longitudes, los perímetros y las áreas de manera diferente: una razón de $3$ hace que las longitudes sean $3$ veces más grandes, los perímetros $3$ veces más grandes, pero las áreas $9$ veces más grandes. El modelo a escala $1:100$ de un arquitecto tiene áreas $1:10{,}000$ del edificio real y volúmenes $1:1{,}000{,}000$, razón por la cual los modelos pequeños se ven desproporcionadamente diminutos cuando intentas imaginar la estructura real. Este escalamiento de longitud-área-volumen como $k^1$, $k^2$, $k^3$ es la base del análisis dimensional en física, donde las cantidades físicas escalan de manera predecible bajo cambios de escala.