相似图形
xiāng sì tú xíng
相似图形形状相同但大小不一定相同，对应角相等，对应边成比例。
Definition
两个图形相似，是指它们形状相同但大小可能不同：所有对应角都全等，所有对应边长都成比例，共享同一个比值 $k$（缩放因子），一个图形是另一个图形的放大或缩小版本。对于三角形，AA（两对匹配角）就足以证明相似。严格地说，如果一个图形可以通过一个相似变换（刚体运动加上位似变换的复合）映射到另一个图形，那么这两个图形相似，这是一种比全等更粗略的等价关系；在复平面中，相似变换是形如 $f(z) = az + b$（$a$ 非零）的共形映射，保持角度不变，把长度按 $|a|$ 缩放。
Example
一个 $3$-$4$-$5$ 直角三角形和一个 $6$-$8$-$10$ 直角三角形是相似的，后者每条边都恰好是前者的两倍，就像照片被放大或缩小一样。三角形 $ABC$ 边长为 $5$、$7$、$9$，三角形 $DEF$ 边长为 $10$、$14$、$18$，比值为 $2:1$（$k=2$），面积比为 $k^2 = 4$，所以大三角形的面积是小三角形的 $4$ 倍。所有抛物线都是相似的（例如 $y = x^2$ 和 $y = 4x^2$ 通过一个缩放联系在一起），更令人惊讶的是，所有离心率相同的椭圆也是相似的，这是射影几何中的一个关键结果。
Key Insight
所有正方形彼此相似，所有圆彼此相似，但并非所有矩形都相似（一个 $2 \times 3$ 的矩形和一个 $2 \times 6$ 的矩形角度相同，但边的比例不同）。当两个图形以缩放因子 $k$ 相似时，它们的周长之比为 $k$，面积之比为 $k^2$，这就是为什么把照片放大 $2$ 倍会使线性尺寸加倍，却使所需纸张面积变为四倍。分形几何建立在自相似的基础上，因为分形在每个尺度上看起来都与自身相似；谢尔宾斯基三角形恰好与其自身按 $1/2$ 缩放后的 $3$ 个副本相似，分形维数量化了相似性如何随复杂度缩放，推广了整数值维度的概念。