Figuras Semejantes
Las figuras semejantes tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño; sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.
Definition
Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero posiblemente diferente tamaño: todos los ángulos correspondientes son congruentes y todas las longitudes de lados correspondientes son proporcionales, compartiendo la misma razón $k$ (el factor de escala), una es una versión ampliada o reducida de la otra. Para triángulos, AA (dos ángulos coincidentes) es suficiente para probar semejanza. Formalmente, dos figuras son semejantes si una puede mapearse sobre la otra mediante una transformación de semejanza (un movimiento rígido compuesto con una dilatación), una relación de equivalencia más amplia que la congruencia; en el plano complejo, las transformaciones de semejanza son aplicaciones conformes de la forma $f(z) = az + b$ (con $a$ distinto de cero), que preservan ángulos y escalan longitudes por $|a|$.
Example
Un triángulo rectángulo $3$-$4$-$5$ y un triángulo rectángulo $6$-$8$-$10$ son semejantes, con cada lado del segundo exactamente el doble del primero, como una fotografía ampliada o reducida. El triángulo $ABC$ con lados $5$, $7$, $9$ y el triángulo $DEF$ con lados $10$, $14$, $18$ tienen razón $2:1$ ($k=2$) y razón de áreas $k^2 = 4$, así que el triángulo más grande tiene $4$ veces el área del más pequeño. Todas las parábolas son semejantes (por ejemplo $y = x^2$ y $y = 4x^2$ están relacionadas por un escalamiento), y de manera más sorprendente, todas las elipses con la misma excentricidad también son semejantes, un resultado clave en geometría proyectiva.
Key Insight
Todos los cuadrados son semejantes entre sí, y todos los círculos son semejantes entre sí, pero no todos los rectángulos son semejantes (un rectángulo $2 \times 3$ y un rectángulo $2 \times 6$ comparten ángulos pero no razones de lados). Cuando dos figuras son semejantes con factor de escala $k$, sus perímetros están en razón $k$ y sus áreas están en razón $k^2$, razón por la cual ampliar una foto por un factor de $2$ duplica las dimensiones lineales pero cuadruplica el papel necesario. La geometría fractal se construye sobre la autosemejanza, ya que un fractal se parece a sí mismo en cada escala; el triángulo de Sierpinski es exactamente semejante a $3$ copias de sí mismo escaladas por $1/2$, y la dimensión fractal cuantifica cómo escala la semejanza con la complejidad, generalizando la noción de dimensión de valor entero.