求和符号（西格玛记号）
qiú hé fú hào (xī gé mǎ jì hào)
求和符号用希腊字母西格玛,按照某种模式紧凑地表示多项之和。
Formula
\sum_{k=1}^{n} a_k
Definition
求和符号是书写一个和式的简写方式：希腊大写字母西格玛（形状像一个大写 E）表示"把这些都加起来"，下方写起始指标，上方写终止指标。$\sum_{k=m}^{n} a_k$ 表示把 $a_m + a_{m+1} + \ldots + a_n$ 加起来，其中 $k$ 是指标，$m$ 是下限，$n$ 是上限（可以从任意整数开始）。在分析学中，有限和 $\sum_{k=m}^{n} a_k$ 与无穷级数 $\sum_{k=m}^{\infty} a_k$ 形成对照，后者需要一个收敛条件；黎曼积分被定义为黎曼和的极限，这使求和符号成为积分符号（本身是表示"求和"的拉长字母 S）的离散类比，而二重和 $\sum_i \sum_j a_{ij}$ 依据富比尼定理对应于累次积分。
Example
和式 $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ 可以写成 $\sum_{k=1}^{5} k = 15$。计算 $\sum_{k=1}^{4} (2k + 1) = 3+5+7+9 = 24$，展示了性质 $\sum(a_k + b_k) = \sum a_k + \sum b_k$ 和 $\sum(c a_k) = c\sum a_k$。黎曼 zeta 函数 $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} 1/n^s$ 对 $\text{Re}(s) > 1$ 收敛；在 $s=2$ 处，$\zeta(2) = \pi^2/6$，欧拉利用 $x^2$ 的傅里叶级数证明了这一结果。
Key Insight
求和符号就像一条循环指令：从这个值开始，到那个值结束，每一步计算表达式的值，再把它们全部加起来，把冗长的和式压缩成一个紧凑的符号；关键的一点是，指标变量 $k$ 是一个"哑变量"，在求和结果中消失，所以 $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \sum_{j=1}^{n} j^2$。交换求和顺序（$\sum_i \sum_j = \sum_j \sum_i$）需要类似富比尼定理的条件：绝对收敛能保证交换成立，而条件收敛可能失败，这就导致了黎曼重排定理。