Notación Sigma
La notación sigma usa la letra griega sigma para representar de forma compacta la suma de muchos términos según un patrón.
Formula
\sum_{k=1}^{n} a_k
Definition
La notación sigma es una manera abreviada de escribir una suma: la letra griega mayúscula sigma (el símbolo que parece una gran E) significa "suma todo esto," con el índice inicial escrito abajo y el índice final arriba. $\sum_{k=m}^{n} a_k$ significa sumar $a_m + a_{m+1} + \ldots + a_n$, donde $k$ es el índice, $m$ el límite inferior, y $n$ el límite superior (que puede empezar en cualquier entero). En análisis, una suma finita $\sum_{k=m}^{n} a_k$ contrasta con una serie infinita $\sum_{k=m}^{\infty} a_k$, que requiere una condición de convergencia; la integral de Riemann se define como un límite de sumas de Riemann, haciendo de la notación sigma el análogo discreto del signo de integral (en sí una S alargada de "suma"), y las sumas dobles $\sum_i \sum_j a_{ij}$ corresponden a integrales iteradas por el teorema de Fubini.
Example
La suma $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ puede escribirse como $\sum_{k=1}^{5} k = 15$. Evaluar $\sum_{k=1}^{4} (2k + 1) = 3+5+7+9 = 24$ ilustra las propiedades $\sum(a_k + b_k) = \sum a_k + \sum b_k$ y $\sum(c a_k) = c\sum a_k$. La función zeta de Riemann, $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} 1/n^s$, converge para $\text{Re}(s) > 1$; en $s=2$, $\zeta(2) = \pi^2/6$, demostrado por Euler usando la serie de Fourier de $x^2$.
Key Insight
La notación sigma es como una instrucción de bucle: empieza en este valor, termina en aquel valor, evalúa la expresión en cada paso, y suma todo, comprimiendo sumas largas en un símbolo compacto; un punto clave es que la variable índice $k$ es una "variable muda" que desaparece en la suma, así que $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \sum_{j=1}^{n} j^2$. El intercambio de sumas ($\sum_i \sum_j = \sum_j \sum_i$) requiere condiciones análogas al teorema de Fubini: la convergencia absoluta garantiza el intercambio, mientras que la convergencia condicional puede fallar, dando lugar al teorema de reordenamiento de Riemann.