集合
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集合是一些互不相同的对象(称为元素)组成的、有明确界定的聚集,是数学最基本的构件之一。
Definition
集合是一堆被归拢在一起的事物；里面的事物称为元素或成员，一个集合必须有明确的界定，使得对任意对象，你都能判断它是否属于这个集合。严格地说，集合 $S$ 是一些互不相同、无序对象的聚集，用 $x \in S$ 表示属于关系；两个集合相等当且仅当它们恰好拥有完全相同的元素（外延公理）。在策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）中，集合是通过公理来定义的，关键公理包括外延公理、配对公理、并集公理、幂集公理和选择公理；罗素悖论（所有不包含自身的集合所组成的集合）表明朴素集合论是不自洽的，从而促使人们建立这些公理化基础。
Example
英语元音字母的集合是 $\{a, e, i, o, u\}$，用花括号作为标准记法；"b"在这个集合里吗？不在。"e"呢？在。重要的数系也是这样构造的：$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$，$\mathbb{Z} = \{\ldots, -1, 0, 1, \ldots\}$，$\mathbb{Q}$，以及 $\mathbb{R}$；顺序不重要，重复的元素会合并，所以 $\{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\}$，且 $\{1, 1, 2\} = \{1, 2\}$。罗素悖论问：设 $R = \{x : x \notin x\}$；那么 $R \in R$ 吗？无论回答是或否都会导致矛盾，这正是 ZFC 限制哪些聚集可以成为集合的原因。
Key Insight
集合是整个数学的基础语言；几乎每一个数学对象，从数到函数，都可以用集合来定义。ZFC 集合论是现代数学的标准基础，而像连续统假设独立于 ZFC 这样的独立性结果表明，存在一些 ZFC 无法裁决的数学问题。