Conjunto
Un conjunto es una colección bien definida de objetos distintos llamados elementos, y es uno de los bloques fundamentales de las matemáticas.
Definition
Un conjunto es una colección de cosas agrupadas; las cosas dentro se llaman elementos o miembros, y un conjunto debe estar bien definido de modo que, para cualquier objeto, puedas saber si pertenece o no. Formalmente, un conjunto $S$ es una colección de objetos distintos y no ordenados, con la pertenencia denotada $x \in S$; dos conjuntos son iguales si y solo si tienen exactamente los mismos elementos (el Axioma de Extensionalidad). En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), los conjuntos se definen axiomáticamente, con axiomas clave que incluyen Extensionalidad, Emparejamiento, Unión, Conjunto Potencia y el Axioma de Elección; la paradoja de Russell (el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos) mostró que la teoría de conjuntos ingenua es inconsistente y motivó estos fundamentos axiomáticos.
Example
El conjunto de las vocales en español es $\{a, e, i, o, u\}$, usando llaves como la notación estándar; ¿está "b" en el conjunto? No. ¿Está "e"? Sí. Los sistemas numéricos clave también se construyen así: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$, $\mathbb{Z} = \{\ldots, -1, 0, 1, \ldots\}$, $\mathbb{Q}$, y $\mathbb{R}$; el orden no importa y los duplicados colapsan, así que $\{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\}$ y $\{1, 1, 2\} = \{1, 2\}$. La paradoja de Russell pregunta: sea $R = \{x : x \notin x\}$; ¿es $R \in R$? Cualquier respuesta lleva a una contradicción, por lo cual ZFC restringe qué colecciones pueden ser conjuntos.
Key Insight
Los conjuntos son el lenguaje básico de toda la matemática; casi todo objeto matemático, desde los números hasta las funciones, puede definirse usando conjuntos. La teoría de conjuntos ZFC es el fundamento estándar de la matemática moderna, y los resultados de independencia, como que la Hipótesis del Continuo sea independiente de ZFC, muestran que hay preguntas matemáticas que ZFC no puede resolver.