半圆
bàn yuán
半圆恰好是圆的一半，由一条直径及其所对的弧构成，弧上任意圆周角都是 90 度。
Formula
\text{Area} = \pi r^2/2; \text{Perimeter} = \pi r + 2r
Definition
半圆恰好是圆的一半，沿直径切开而成，平的一边是直径，弯曲的一边是半段弧。面积 $=\pi r^2/2$，周长 $=\pi r+2r=r(\pi+2)$，根据泰勒斯定理，内接于半圆的任何角(顶点在弧上，两端点在直径上)总是 $90^\circ$，这是圆周角定理的一个特殊情形(中心角 $180^\circ$，内接角 $90^\circ$)。半圆也是双曲几何上半平面模型中的基本区域，在其中测地线是与实轴边界垂直的半圆。
Example
字母D和量角器的形状是半圆，罗马式拱门的顶部也是；半径为 $4$ 的半圆面积为 $16\pi/2=8\pi\approx25.1$。对于半径 $5$：面积 $=25\pi/2\approx39.27$，周长 $=5(\pi+2)\approx25.71$，对于弧上任意一点 $C$，若 $AB$ 是直径，则角 $ACB=90^\circ$。在双曲几何的上半平面模型中，测地线是圆心位于实轴上的半圆(或作为退化情形的竖直直线)，沿这些测地线的双曲距离用交比来计算。
Key Insight
泰勒斯定理，即半圆弧上任意一点与直径两端相连总能形成直角，是一个既优美又出人意料的事实，在实践中被广泛应用：画出未知圆的两条直径，它们的交点就是圆心；将顶点放在半圆的弧上，可以在圆规直尺作图中构造出一个直角。半圆的双重角色(通过泰勒斯定理成为欧几里得图形，又作为庞加莱半平面模型中的双曲测地线)说明同一个形状在不同语境下可以承载截然不同的含义，在后一种情形下，它满足除平行公设之外欧几里得的全部公理。