Semicírculo
Un semicírculo es exactamente la mitad de un círculo, formado por un diámetro y el arco que subtiende, y cualquier ángulo inscrito sobre el arco mide 90 grados.
Formula
\text{Area} = \pi r^2/2; \text{Perimeter} = \pi r + 2r
Definition
Un semicírculo es exactamente la mitad de un círculo, formado al cortar a lo largo de un diámetro, con el lado plano siendo el diámetro y el lado curvo un medio arco. Área $=\pi r^2/2$, perímetro $=\pi r+2r=r(\pi+2)$, y por el Teorema de Tales, cualquier ángulo inscrito en un semicírculo (vértice sobre el arco, extremos sobre el diámetro) siempre es $90^\circ$, un caso especial del teorema del ángulo inscrito (ángulo central $180^\circ$, ángulo inscrito $90^\circ$). El semicírculo también sirve como dominio fundamental en el modelo del semiplano superior de la geometría hiperbólica, donde las geodésicas son semicírculos perpendiculares al eje real de frontera.
Example
La letra D y un transportador tienen forma de semicírculo, al igual que la parte superior de un arco romano; un semicírculo de radio $4$ tiene área $16\pi/2=8\pi\approx25.1$. Para radio $5$: área $=25\pi/2\approx39.27$, perímetro $=5(\pi+2)\approx25.71$, y para cualquier punto $C$ en el arco con $AB$ el diámetro, el ángulo $ACB=90^\circ$. En el modelo del semiplano superior de la geometría hiperbólica, las geodésicas son semicírculos centrados en el eje real (o rectas verticales como caso degenerado), y las distancias hiperbólicas a lo largo de ellas se calculan usando razones cruzadas.
Key Insight
El teorema de Tales, que cualquier punto en la parte curva de un semicírculo conectado a ambos extremos del diámetro siempre forma un ángulo recto, es un hecho hermoso y sorprendente usado en la práctica: trazar dos diámetros de un círculo desconocido localiza su centro donde se intersecan, y colocar un vértice sobre el arco de un semicírculo construye un ángulo recto en trabajos con compás y regla. El doble papel del semicírculo, como figura euclidiana mediante el teorema de Tales y como geodésica hiperbólica en el modelo del semiplano de Poincaré, muestra cómo la misma forma puede tener un significado completamente distinto según el contexto, satisfaciendo todos los axiomas de Euclides excepto el postulado de las paralelas en este último caso.