扇形
shàn xíng
扇形是由两条半径及其间的弧所围成的圆的区域，形状像一片派。
Formula
\text{Area} = (\theta/360)\pi r^2 = (1/2)r^2\theta \text{ (}\theta \text{ in radians)}
Definition
扇形是圆的"派片"区域，由两条半径和它们之间的弧围成。对于度数为 $\theta$ 的中心角，面积 $=(\theta/360)\pi r^2$；用弧度表示时，面积 $=(1/2)r^2\theta$，弧长 $=r\theta$，中心角小于 $180^\circ$ 的扇形称为劣扇形，大于 $180^\circ$ 的称为优扇形。基于弧度的面积公式可以通过积分推导，$A=\int_0^\theta(1/2)r^2\,d\phi=(1/2)r^2\theta$，它可以推广为用于任意极坐标曲线的极坐标面积公式 $A=(1/2)\int r^2\,d\theta$。
Example
四分之一圆是中心角为 $90^\circ$ 的扇形；半径为 $8$ 英寸的披萨(面积 $64\pi\approx201$ 平方英寸)的 $90^\circ$ 切片面积约为 $50.3$ 平方英寸。对于半径 $6$、中心角 $120^\circ$：面积 $=(120/360)\times36\pi=12\pi\approx37.7$，弧长 $=4\pi\approx12.57$；用弧度表示($\theta=2\pi/3$)，面积 $=(1/2)(36)(2\pi/3)=12\pi$，结果相同。对于极坐标曲线 $r=2\cos\theta$，从 $0$ 到 $\pi/2$：面积 $=\int_0^{\pi/2}(1/2)(2\cos\theta)^2\,d\theta=2(\pi/4)=\pi/2$，描绘出圆 $x^2+y^2=2x$ 的一个扇形。
Key Insight
扇形之于圆，就像一片之于一个派，扇形占整个圆的比例取决于中心角：$90^\circ$ 的扇形是整个圆的四分之一。弧度制面积公式 $(1/2)r^2\theta$ 与三角形的面积公式 $(1/2)\times$底$\times$高有一种优美的类比，底 $=$ 弧 $=r\theta$，高 $=r$，仿佛扇形是一个"展开"的带弯曲底边的三角形，这个 $1/2$ 也再次出现在极坐标面积公式中，是微积分中用于玫瑰线、蚶线等极坐标图形的最有用积分技巧之一。