Sector
Un sector es la región de un círculo delimitada por dos radios y el arco entre ellos, con forma de rebanada de pastel.
Formula
\text{Area} = (\theta/360)\pi r^2 = (1/2)r^2\theta \text{ (}\theta \text{ in radians)}
Definition
Un sector es la región de "rebanada de pastel" de un círculo delimitada por dos radios y el arco entre ellos. Para un ángulo central $\theta$ en grados, área $=(\theta/360)\pi r^2$; en radianes, área $=(1/2)r^2\theta$ y longitud del arco $=r\theta$, y un sector se llama menor (ángulo central menor de $180^\circ$) o mayor (mayor de $180^\circ$). La fórmula del área basada en radianes puede derivarse por integración, $A=\int_0^\theta(1/2)r^2\,d\phi=(1/2)r^2\theta$, y se generaliza a la fórmula del área en coordenadas polares $A=(1/2)\int r^2\,d\theta$ usada para cualquier curva polar.
Example
Un cuarto de círculo es un sector con un ángulo central de $90^\circ$; una pizza de radio $8$ pulgadas (área $64\pi\approx201$ pulgadas cuadradas) tiene una rebanada de $90^\circ$ de aproximadamente $50.3$ pulgadas cuadradas. Para radio $6$ y ángulo central $120^\circ$: área $=(120/360)\times36\pi=12\pi\approx37.7$, longitud del arco $=4\pi\approx12.57$; en radianes ($\theta=2\pi/3$), área $=(1/2)(36)(2\pi/3)=12\pi$, la misma respuesta. Para la curva polar $r=2\cos\theta$ de $0$ a $\pi/2$: área $=\int_0^{\pi/2}(1/2)(2\cos\theta)^2\,d\theta=2(\pi/4)=\pi/2$, trazando un sector del círculo $x^2+y^2=2x$.
Key Insight
Un sector es al círculo lo que una rebanada es a un pastel, y la fracción del círculo completo depende del ángulo central: un sector de $90^\circ$ es un cuarto del círculo. La fórmula del área en radianes $(1/2)r^2\theta$ tiene una analogía hermosa con $(1/2)\times$base$\times$altura para un triángulo, con base $=$ arco $=r\theta$ y altura $=r$, como si el sector fuera un triángulo "desenrollado" con una base curva, y este mismo $1/2$ reaparece en la fórmula del área polar, una de las técnicas de integración más útiles en cálculo para curvas rosa, caracolas (limaçons), y otras figuras polares.