扇形面积
shàn xíng miàn jī
扇形的面积是由两条半径和一段弧围成的区域，是整个圆面积的一部分。
Formula
A = \frac{\theta}{360}\pi r^2 \text{ or } A = \frac{1}{2}r^2\theta \text{ (radians)}
Definition
圆的一个扇形看起来像一块披萨，由两条半径和它们之间的弧围成，其面积是整个圆的一部分：圆心角为 $\theta$（角度制）时，$A = (\theta/360)\pi r^2$，用弧度制则为 $A = (1/2)r^2\theta$。当 $\theta = 360$ 度（$2\pi$ 弧度）时，$A = \pi r^2$，即整个圆。这可以通过极坐标积分推导：$$A = \frac{1}{2}\int_0^\theta r^2 \, d\varphi = \frac{1}{2}r^2\theta,$$ 对于一般的极坐标曲线 $r = f(\varphi)$，所围面积则为 $A = (1/2)\int f(\varphi)^2 \, d\varphi$。
Example
半径为 $6$ cm、圆心角为 $90$ 度的圆，对应一个四分之一圆扇形：$A = (90/360) \times \pi \times 6^2 = (1/4)(113.1) = 28.3$ cm$^2$。$r = 10$ m、$\theta = 150$ 度的扇形，$A = (150/360)\pi \cdot 100 = 130.9$ m$^2$，与弧度制计算 $\theta = 5\pi/6$，$A = (1/2)(100)(5\pi/6) = 130.9$ m$^2$ 相符。对于心形线 $r = a(1 + \cos\varphi)$，总面积为 $$A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} a^2(1+\cos\varphi)^2 \, d\varphi = \frac{3}{2}\pi a^2.$$
Key Insight
把扇形看作整个圆的一部分：$90$ 度的扇形是圆的 $1/4$，$180$ 度的扇形是 $1/2$，$60$ 度的扇形是 $1/6$，所以只需把这个比例乘以整圆面积即可。弧度制下的扇形面积公式 $A = (1/2)r^2\theta$ 与三角形面积公式 $A = (1/2)bh$ 直接呼应，把 $r$ 既当作细长三角形切片的底又当作高，这揭示了为什么弧度是自然的角度单位；极坐标面积公式 $A = (1/2)\int r^2 \, d\varphi$ 把这一思想推广，用同一个积分统一了螺旋形、圆形和花瓣形区域的度量。