Área de un Sector
El área de un sector es la región delimitada por dos radios y un arco, igual a una fracción del área del círculo completo.
Formula
A = \frac{\theta}{360}\pi r^2 \text{ or } A = \frac{1}{2}r^2\theta \text{ (radians)}
Definition
Un sector de un círculo parece una rebanada de pastel, delimitado por dos radios y el arco entre ellos, y su área es una fracción del círculo completo: $A = (\theta/360)\pi r^2$ para ángulo central $\theta$ en grados, o $A = (1/2)r^2\theta$ en radianes. Cuando $\theta = 360$ grados ($2\pi$ radianes), $A = \pi r^2$, el círculo completo. Esto puede derivarse mediante integración en coordenadas polares, $$A = \frac{1}{2}\int_0^\theta r^2 \, d\varphi = \frac{1}{2}r^2\theta,$$ y para una curva polar general $r = f(\varphi)$ el área encerrada se convierte en $A = (1/2)\int f(\varphi)^2 \, d\varphi$.
Example
Un círculo con radio $6$ cm y un ángulo central de $90$ grados da un sector de un cuarto de círculo: $A = (90/360) \times \pi \times 6^2 = (1/4)(113.1) = 28.3$ cm$^2$. Un sector con $r = 10$ m y $\theta = 150$ grados da $A = (150/360)\pi \cdot 100 = 130.9$ m$^2$, coincidiendo con el cálculo en radianes $\theta = 5\pi/6$, $A = (1/2)(100)(5\pi/6) = 130.9$ m$^2$. Para la cardioide $r = a(1 + \cos\varphi)$, el área total es $$A = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} a^2(1+\cos\varphi)^2 \, d\varphi = \frac{3}{2}\pi a^2.$$
Key Insight
Piensa en un sector como una fracción del círculo completo: un sector de $90$ grados es $1/4$ del círculo, uno de $180$ grados es $1/2$, y uno de $60$ grados es $1/6$, así que simplemente multiplicas la fracción por el área total del círculo. La fórmula del área del sector $A = (1/2)r^2\theta$ en radianes es directamente paralela a la fórmula del área del triángulo $A = (1/2)bh$, tratando a $r$ como base y altura de una rebanada triangular delgada, lo cual revela por qué los radianes son la unidad natural de ángulo; la fórmula del área polar $A = (1/2)\int r^2 \, d\varphi$ generaliza esto para unificar la medición de regiones en espiral, circulares y con forma de pétalo bajo una sola integral.