割线
gē xiàn
割线是恰好与圆相交于两点、穿过圆内部的直线。
Formula
\text{secant-tangent: (external segment)} \times \text{(whole secant)} = (\text{tangent})^2
Definition
割线是穿过圆的一条直线，从一点进入，从另一点穿出；这两点之间的线段是弦。割线-切线定理指出，如果从同一外部点引出一条切线和一条割线，$(\text{tangent length})^2=(\text{external secant segment})\times(\text{whole secant length})$，对于两条割线，$(\text{ext}_1)\times(\text{whole}_1)=(\text{ext}_2)\times(\text{whole}_2)$；这两者都是点的幂 $\text{pow}(P,C)=|PO|^2-r^2$ 的实例，在圆外为正，在圆上为零，在圆内为负。
Example
用激光穿过一个球会画出一条割线，从一侧进入，从另一侧穿出；直径是穿过圆心的特殊割线所对应的弦。对于外部点 $P$，切线长为 $6$，一条割线在 $4$ 个单位处进入圆、在 $9$ 个单位处穿出：$6^2=36=4\times9$，验证了该定理。对于半径为 $5$ 的圆外一点 $P$，$|PO|=13$：幂 $=169-25=144$，从 $P$ 出发的切线长为 $12$；一条近交点距 $P$ 为 $3$ 的割线，远交点为 $144/3=48$，另一条近交点为 $4$ 的割线，远交点为 $144/4=36$，所有割线共享相同的幂。
Key Insight
割线与切线的区别在于，割线在圆上有两个交点，而切线只在一点接触，切线是这两点合并时的极限情形。点的幂定理(即从一个固定点出发的所有割线都有相同的乘积)是一个射影性质，源自圆上调和点列的交比不变性，而幂函数 $\text{pow}(P,C)=|PO|^2-r^2$ 定义了从一点到一个圆的一种自然"距离"，被用于根轴和共轴圆系。