Secante
Una secante es una recta que interseca a un círculo en exactamente dos puntos, pasando por el interior del círculo.
Formula
\text{secant-tangent: (external segment)} \times \text{(whole secant)} = (\text{tangent})^2
Definition
Una secante es una recta que atraviesa un círculo, entrando en un punto y saliendo en otro; el segmento entre esos dos puntos es una cuerda. El Teorema de la Secante-Tangente establece que si una tangente y una secante se trazan desde el mismo punto externo, $(\text{tangent length})^2=(\text{external secant segment})\times(\text{whole secant length})$, y para dos secantes, $(\text{ext}_1)\times(\text{whole}_1)=(\text{ext}_2)\times(\text{whole}_2)$; ambos son instancias de la potencia de un punto, $\text{pow}(P,C)=|PO|^2-r^2$, positiva fuera del círculo, cero sobre él, negativa dentro.
Example
Un láser que atraviesa una pelota trazaría una secante, entrando por un lado y saliendo por el otro; un diámetro es una cuerda especial de una secante que pasa por el centro. Para un punto externo $P$ con longitud de tangente $6$ y una secante que entra al círculo a $4$ unidades y sale a $9$ unidades: $6^2=36=4\times9$, confirmando el teorema. Para $P$ fuera de un círculo de radio $5$ con $|PO|=13$: potencia $=169-25=144$, tangente desde $P=12$; una secante con intersección cercana a $3$ de $P$ tiene intersección lejana $144/3=48$, y otra con intersección cercana $4$ tiene intersección lejana $144/4=36$, todas las secantes compartiendo la misma potencia.
Key Insight
La diferencia entre una secante y una tangente es que una secante cruza el círculo en dos puntos mientras que una tangente solo lo toca en uno, con la tangente como el caso límite cuando esos dos puntos se fusionan. El teorema de la potencia de un punto, que todas las secantes desde un punto fijo comparten el mismo producto, es una propiedad proyectiva que se deduce de la invariancia de la razón cruzada de los rangos armónicos sobre un círculo, y la función de potencia $\text{pow}(P,C)=|PO|^2-r^2$ define una "distancia" natural de un punto a un círculo usada en ejes radicales y sistemas de círculos coaxiales.