正割
zhèng gē
正割是余弦的倒数，定义为直角三角形中斜边与邻边的比值。
Formula
\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} = \frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}}
Definition
正割（记作 sec）是余弦的倒数：$\sec(\theta) = 1/\cos(\theta) = \text{hypotenuse}/\text{adjacent}$。当 $\cos(\theta) = 0$ 时（在 $90^\circ$、$270^\circ$ 处）它无定义，并且由于余弦的绝对值至多为 $1$，正割的绝对值也始终至少为 $1$。涉及正割的勾股恒等式 $1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$，是把 $\sin^2 + \cos^2 = 1$ 两边同除以 $\cos^2$ 得到的，正割在 $|x| < \pi/2$ 时有泰勒级数 $\sec(x) = 1 + x^2/2 + 5x^4/24 + 61x^6/720 + \ldots$，其系数是欧拉数（正割数）。
Example
如果 $\cos(60^\circ) = 0.5$，那么 $\sec(60^\circ) = 1/0.5 = 2$；而 $\sec(30^\circ) = 1/\cos(30^\circ) = 2/\sqrt{3} = 2\sqrt{3}/3 \approx 1.155$。导数 $d/dx[\sec(x)] = \sec(x)\tan(x)$，$\sec(x)$ 的积分为 $\ln|\sec(x) + \tan(x)| + C$，这一并不直观的结果用于墨卡托地图投影公式。
Key Insight
恒等式 $1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$ 在微积分的积分技巧中经常出现。墨卡托投影把纬度 $\phi$ 映射为 $y = \ln|\sec(\phi) + \tan(\phi)|$，即正割的积分，这也是正割积分具有历史意义的原因：它曾是十七世纪制图学中的关键难题。