Secante (Trig)
La secante es el recíproco del coseno, definida como la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente en un triángulo rectángulo.
Formula
\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} = \frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}}
Definition
La secante (escrita "sec") es el inverso del coseno: $\sec(\theta) = 1/\cos(\theta) = \text{hypotenuse}/\text{adjacent}$. No está definida cuando $\cos(\theta) = 0$ (en $90^\circ$, $270^\circ$), y como el coseno tiene tamaño máximo $1$, la secante siempre tiene tamaño al menos $1$. La identidad pitagórica que involucra la secante, $1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$, viene de dividir $\sin^2 + \cos^2 = 1$ entre $\cos^2$, y la secante tiene la serie de Taylor $\sec(x) = 1 + x^2/2 + 5x^4/24 + 61x^6/720 + \ldots$ para $|x| < \pi/2$, cuyos coeficientes son los números de Euler (secante).
Example
Si $\cos(60^\circ) = 0.5$, entonces $\sec(60^\circ) = 1/0.5 = 2$; y $\sec(30^\circ) = 1/\cos(30^\circ) = 2/\sqrt{3} = 2\sqrt{3}/3 \approx 1.155$. La derivada $d/dx[\sec(x)] = \sec(x)\tan(x)$, y la integral de $\sec(x) = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C$, un resultado nada obvio usado en la fórmula de la proyección cartográfica de Mercator.
Key Insight
La identidad $1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$ aparece con frecuencia en técnicas de integración del cálculo. La proyección de Mercator convierte la latitud $\phi$ en $y = \ln|\sec(\phi) + \tan(\phi)|$, la integral de sec, razón por la cual la integral de la secante tiene importancia histórica: fue el problema clave de la cartografía del siglo XVII.