比例因子
bǐ lì yīn zi
比例因子是缩放后图形与原图形对应测量值之间的比，表示图形被放大或缩小了多少。
Formula
\text{scale factor} = \frac{\text{new length}}{\text{original length}}
Definition
比例因子是你用来把测量值放大或缩小、同时保持形状不变所乘的数：大于$1$的比例因子会使物体变大，小于$1$会使物体变小。形式上，一次相似变换的比例因子$k$是新长度/原长度之比；所有长度乘以$k$，所有面积乘以$k^2$，所有体积乘以$k^3$，因为相似图形具有相等的对应角和成恒定比例的对应边。比例因子$k$定义了一个相似变换$D_k(v) = kv$，这是特征值为$k$的线性变换；在分形几何中，自相似集合是由迭代函数系统构造的，每个压缩映射都有一个固定的比例因子，这样的分形的豪斯多夫维数由求解$\sum r_i^d = 1$（$r_i$为其比例因子）确定。
Example
一张比例因子为$1/12$的卧室平面图，把$12$英尺的墙表示为纸上的$1$英尺（$12$英寸）；比例因子为$2$则会使一切变成原来的两倍大。边长为$3$、$4$、$5$厘米的三角形A，按比例放大成边长为$9$、$12$、$15$厘米的相似三角形B，比例因子是$9/3 = 3$，所以如果A的面积是$6$厘米$^2$，B的面积就是$6 \times 3^2 = 54$厘米$^2$。谢尔宾斯基三角形使用三个比例因子均为$1/2$的压缩映射；它的分形维数$d$满足$3 \times (1/2)^d = 1$，得$d = \log(3)/\log(2) \approx 1.585$，既不是曲线也不是曲面。
Key Insight
比例因子在改变大小的同时保持形状不变：地图、模型车和蓝图都使用比例因子，得到的形状是"相似的"，角度相同，边长成比例，只是大小不同。面积和体积的缩放规则（$k^2$和$k^3$）有着令人惊讶的实际影响：把一个结构的尺寸翻倍会使用$4$倍的表面材料，却创造出$8$倍的容积，这就是"平方-立方定律"，它也是较大的动物在某些方面能比较小的动物更高效的部分原因。这一原理远远超越了简单的形状：自相似分形的豪斯多夫维数公式把欧几里得几何中比例因子/面积/体积的关系推广到了非整数维度。