Factor de Escala
Un factor de escala es la razón entre las medidas correspondientes de una figura escalada y una figura original, e indica cuánto se ha agrandado o reducido la figura.
Formula
\text{scale factor} = \frac{\text{new length}}{\text{original length}}
Definition
Un factor de escala es el número por el que multiplicas las medidas para hacer algo más grande o más pequeño manteniendo la misma forma: un factor de escala mayor que $1$ agranda las cosas, menor que $1$ las achica. Formalmente, el factor de escala $k$ de una dilatación es la razón longitud nueva/longitud original; todas las longitudes se multiplican por $k$, todas las áreas por $k^2$, y todos los volúmenes por $k^3$, ya que las figuras semejantes tienen ángulos correspondientes iguales y lados en una razón constante. Un factor de escala $k$ define una dilatación $D_k(v) = kv$, una transformación lineal con valor propio $k$; en geometría fractal, los conjuntos autosimilares se construyen a partir de sistemas de funciones iteradas donde cada contracción tiene un factor de escala fijo, y la dimensión de Hausdorff de tal fractal se determina resolviendo $\sum r_i^d = 1$ para sus factores de escala $r_i$.
Example
Un dibujo de una recámara hecho con factor de escala $1/12$ muestra una pared de $12$ pies como $1$ pie ($12$ pulgadas) en el papel; un factor de escala de $2$ haría todo el doble de grande. El Triángulo A con lados $3$, $4$, $5$ cm escalado al Triángulo B semejante con lados $9$, $12$, $15$ cm tiene factor de escala $9/3 = 3$, así que si A tiene área $6$ cm$^2$, B tiene área $6 \times 3^2 = 54$ cm$^2$. El triángulo de Sierpinski usa tres contracciones cada una con factor de escala $1/2$; su dimensión fractal $d$ satisface $3 \times (1/2)^d = 1$, dando $d = \log(3)/\log(2) \approx 1.585$, ni una curva ni una superficie.
Key Insight
Los factores de escala mantienen la forma igual mientras cambian el tamaño: mapas, autos a escala y planos usan todos factores de escala, y la figura resultante es "semejante", mismos ángulos, lados proporcionales, solo un tamaño diferente. Las reglas de escalamiento de área y volumen ($k^2$ y $k^3$) tienen consecuencias prácticas sorprendentes: duplicar las dimensiones de una estructura usa $4$ veces el material de superficie pero crea $8$ veces el volumen encerrado, la "ley cuadrado-cubo", que es parte de por qué los animales más grandes pueden ser más eficientes en algunos sentidos que los más pequeños. Esto se generaliza mucho más allá de las figuras simples: la fórmula de la dimensión de Hausdorff para fractales autosimilares extiende las relaciones de factor de escala/área/volumen de la geometría euclídea a dimensiones no enteras.