缩放因子（几何）
suō fàng yīn zi (jǐ hé)
几何中的缩放因子是在位似变换或比例图中，图形所有尺寸被乘以的那个比值。
Formula
k = \dfrac{\text{image length}}{\text{original length}}
Definition
缩放因子说明一个新图形相比原图形放大或缩小了多少：$k = \dfrac{\text{image length}}{\text{original length}}$，所以 $k > 1$ 表示放大，$0 < k < 1$ 表示缩小，$k = 1$ 表示不变（负的 $k$ 还包含绕中心 $180$ 度的旋转）。在以 $C$ 为中心的位似变换 $D(C, k)$ 中，每个点 $P$ 映射到 $P' = C + k(P - C)$，所以 $k$ 是变换线性部分的特征值，当 $k \neq 1$ 时，唯一的不动点是中心 $C$；在射影几何中，位似变换是射影变换的特殊情形。
Example
一个 $4$ cm $\times$ $6$ cm 的矩形按缩放因子 $3$ 位似后变为 $12$ cm $\times$ $18$ cm；按缩放因子 $0.5$ 则变为 $2$ cm $\times$ $3$ cm。比例为 $1:50{,}000$ 的地图，意味着地图上 $1$ cm 对应现实中的 $500$ m，所以地图上 $3$ cm 的道路代表 $1.5$ km。复合两个位似变换 $D(C_1, k_1)$ 和 $D(C_2, k_2)$，会得到缩放因子为 $k_1 k_2$ 的位似变换（若中心相同）、一个新中心的位似变换（若 $k_1 k_2 \neq 1$），或一个平移（若 $k_1 k_2 = 1$），这个复合规则在螺旋相似问题中很重要。
Key Insight
缩放因子 $> 1$ 表示放大，介于 $0$ 和 $1$ 之间表示缩小，$= 1$ 表示不变，$= -1$ 表示大小不变但经过中心反射；缩放因子出现在比例图、模型制作、摄影（变焦倍数）和图像缩放中，总是按同一因子改变所有维度。绕同一中心的位似变换与旋转的复合是螺旋相似变换，它把任意图形映射为一个相似的、经过旋转和缩放的副本，出现在对数螺线、鹦鹉螺壳以及曼德博集合的许多位置中。