Factor de Escala (Geometría)
Un factor de escala en geometría es la razón por la cual se multiplican todas las dimensiones de una figura en una dilatación o un dibujo a escala.
Formula
k = \dfrac{\text{image length}}{\text{original length}}
Definition
Un factor de escala indica cuánto más grande o más pequeña es una nueva figura en comparación con el original: $k = \dfrac{\text{image length}}{\text{original length}}$, así que $k > 1$ significa ampliación, $0 < k < 1$ significa reducción, y $k = 1$ significa que no hay cambio (un $k$ negativo incluye una rotación de $180$ grados alrededor del centro). En una dilatación $D(C, k)$ centrada en $C$, cada punto $P$ se transforma en $P' = C + k(P - C)$, así que $k$ es el valor propio de la parte lineal de la transformación, y para $k \neq 1$ el único punto fijo es el centro $C$; en geometría proyectiva, las dilataciones son casos especiales de las transformaciones proyectivas.
Example
Un rectángulo de $4$ cm $\times$ $6$ cm dilatado con factor de escala $3$ se convierte en $12$ cm $\times$ $18$ cm; con factor de escala $0.5$, se convierte en $2$ cm $\times$ $3$ cm. Un mapa con factor de escala $1:50{,}000$ significa que $1$ cm en el mapa $= 500$ m en la realidad, así que un camino de $3$ cm en el mapa representa $1.5$ km. Componer dos dilataciones $D(C_1, k_1)$ y $D(C_2, k_2)$ da una dilatación con factor de escala $k_1 k_2$ (mismo centro), una dilatación con un nuevo centro (si $k_1 k_2 \neq 1$), o una traslación (si $k_1 k_2 = 1$), una regla de composición importante en problemas de semejanza en espiral.
Key Insight
Un factor de escala $> 1$ significa ampliación, entre $0$ y $1$ significa reducción, $= 1$ significa que no hay cambio, y $= -1$ significa mismo tamaño pero reflejado a través del centro; los factores de escala aparecen en dibujos a escala, construcción de modelos, fotografía (factor de zoom), y redimensionamiento de imágenes, siempre cambiando todas las dimensiones por el mismo factor. La composición de una dilatación y una rotación alrededor del mismo centro es una semejanza en espiral, que mapea cualquier figura a una copia semejante, rotada y escalada, apareciendo en la espiral logarítmica, la concha del nautilo con cámaras, y el conjunto de Mandelbrot en muchos lugares.