标量
biāo liàng
标量是一个只有大小、没有方向的实数,用来缩放向量或表示无方向的量。
Definition
标量只是一个普通的数，一个有大小但没有方向的量；温度、质量和距离是标量，而速度和力是向量。严格地说，标量是向量空间中所使用的域 $F$（通常是 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）中的一个元素；标量乘法 $cv$ 把向量 $v$ 按因子 $c$ 缩放，若 $|c| > 1$ 则拉伸，若 $|c| < 1$ 则收缩，若 $c < 0$ 则反转方向。在域 $F$ 上的向量空间 $V$ 中，标量所在的域决定了结构，因为 $\mathbb{R}$-向量空间和 $\mathbb{C}$-向量空间具有不同的性质（$\mathbb{C}^n$ 上任何线性映射都至少有一个特征值，但这在 $\mathbb{R}$ 上并不成立）；在物理学中，标量是不随参照系改变的洛伦兹不变量。
Example
温度（$72$ 度）和风速（$20$ 英里/小时）是标量，但风的速度，即"西北方向 $20$ 英里/小时"，是一个向量，因为它同时具有方向。$3(2, 1) = (6, 3)$ 把向量按因子 $3$ 拉伸，而 $-1(2, 1) = (-2, -1)$ 把它反转。矩阵的行列式是一个标量，编码了体积的缩放比例，迹（特征值之和）也是一个标量；两者在相似变换下都是不变的，而特征值本身在 $Av = \lambda v$ 中也是标量，其中 $A$ 作用在特征向量 $v$ 上纯粹表现为标量乘法。
Key Insight
当你把一个向量乘以一个标量时，你改变的是它的长度而不改变方向，除非这个标量是负数，那样会使方向反转。在微分几何中，标量场是流形上的函数 $M \to \mathbb{R}$，向量场是切丛的截面，而标量场的梯度是一个向量场，把这两个概念联系了起来。