Escalar
Un escalar es un solo número real con magnitud pero sin dirección, usado para escalar vectores o representar cantidades sin dirección.
Definition
Un escalar es simplemente un número común, uno con tamaño pero sin dirección; la temperatura, la masa y la distancia son escalares, mientras que la velocidad y la fuerza son vectores. Formalmente, un escalar es un elemento del cuerpo $F$ (usualmente $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) usado en un espacio vectorial; la multiplicación escalar $cv$ "escala" el vector $v$ por el factor $c$, estirándolo si $|c| > 1$, encogiéndolo si $|c| < 1$, e invirtiendo la dirección si $c < 0$. En un espacio vectorial $V$ sobre el cuerpo $F$, el cuerpo escalar determina la estructura, ya que los espacios vectoriales sobre $\mathbb{R}$ y los espacios vectoriales sobre $\mathbb{C}$ tienen propiedades distintas (toda aplicación lineal en $\mathbb{C}^n$ tiene al menos un valor propio, pero esto falla sobre $\mathbb{R}$); en física, los escalares son cantidades invariantes de Lorentz, sin cambio según el sistema de referencia.
Example
La temperatura ($72$ grados) y la velocidad del viento ($20$ mph) son escalares, pero la velocidad vectorial del viento, $20$ mph hacia el noroeste, es un vector porque también tiene dirección. $3(2, 1) = (6, 3)$ estira el vector por un factor de $3$, mientras que $-1(2, 1) = (-2, -1)$ lo invierte. El determinante de una matriz es un escalar que codifica el escalamiento de volumen, y la traza (suma de valores propios) también es un escalar; ambos son invariantes bajo transformaciones de similaridad, y los valores propios mismos son escalares en $Av = \lambda v$, donde $A$ actúa sobre el vector propio $v$ puramente como multiplicación escalar.
Key Insight
Cuando multiplicas un vector por un escalar, cambias su longitud sin cambiar su dirección, a menos que el escalar sea negativo, lo cual la invierte. En geometría diferencial, los campos escalares son funciones $M \to \mathbb{R}$ en una variedad, los campos vectoriales son secciones del fibrado tangente, y el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial, conectando los dos conceptos.