矩阵的数乘
jǔ zhèn de shù chéng
矩阵的数乘是用一个称为标量的单一数字去乘矩阵的每一个元素。
Formula
(cA)_{ij} = c \cdot a_{ij}
Definition
数乘是指用一个单独的数（标量）去乘一个矩阵，矩阵内的每一个元素都乘以这个标量。对标量 $c$ 和 $m \times n$ 矩阵 $A$，乘积 $cA$ 的元素是 $(cA)_{ij} = c \cdot a_{ij}$，满足 $c(A+B) = cA + cB$、$(c+d)A = cA + dA$、$c(dA) = (cd)A$，以及 $1 \cdot A = A$；结合矩阵加法，这使 $M_{m,n}(F)$ 具有向量空间的结构。更深层地说，数乘赋予 $M_{m,n}(F)$ 一种 $F$-模结构，对方阵而言这种运算是中心化的：$cA = Ac$ 对所有矩阵成立，所以 $M_n(F)$ 的中心包含所有标量矩阵 $\{cI : c \in F\}$；对 $F = \mathbb{C}$，中心恰好就是标量矩阵，这是舒尔引理应用于 $M_n(\mathbb{C})$ 在 $\mathbb{C}^n$ 上不可约表示的结果。
Example
$3 \cdot \begin{bmatrix}2 & -1\\0 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 & -3\\0 & 12\end{bmatrix}$，每个元素都乘以 $3$。对于 $A = \begin{bmatrix}3 & 6\\9 & 12\end{bmatrix}$：$(1/3)A = \begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}$，$(-1)A = \begin{bmatrix}-3 & -6\\-9 & -12\end{bmatrix}$，缩放这个矩阵而不改变它的结构（秩、零元素模式等）。标量矩阵 $cI_n$ 与 $M_n(F)$ 中的每一个矩阵都可交换，$(cI)A = c(IA) = cA = c(AI) = A(cI)$，这正是舒尔引理关于不可约表示的代数内容。
Key Insight
把一个矩阵乘以一个标量，会均匀地缩放每一个元素，就像把一张照片整体放大或缩小，每一个像素都按相同的比例变化；数乘与矩阵加法一起赋予 $M_{m,n}$ 向量空间的结构，把矩阵当作"向量"来处理。表示论中的舒尔引理指出，不可约表示的交织算子都是恒等映射的标量倍，这是 $M_n(\mathbb{C})$ 的换位环为标量矩阵这一事实的推广，在群表示论中有深远的影响。