Multiplicación Escalar de una Matriz
La multiplicación escalar de una matriz multiplica cada entrada de la matriz por un solo número llamado escalar.
Formula
(cA)_{ij} = c \cdot a_{ij}
Definition
La multiplicación escalar significa multiplicar una matriz por un solo número, el escalar, así que cada entrada dentro de la matriz se multiplica por ese escalar. Para un escalar $c$ y una matriz $m \times n$ $A$, el producto $cA$ tiene entradas $(cA)_{ij} = c \cdot a_{ij}$, satisfaciendo $c(A+B) = cA + cB$, $(c+d)A = cA + dA$, $c(dA) = (cd)A$, y $1 \cdot A = A$; junto con la suma de matrices, esto le da a $M_{m,n}(F)$ la estructura de un espacio vectorial. De manera más profunda, la multiplicación escalar dota a $M_{m,n}(F)$ de una estructura de $F$-módulo, y para matrices cuadradas es central: $cA = Ac$ para toda matriz, así que el centro de $M_n(F)$ contiene todas las matrices escalares $\{cI : c \in F\}$; para $F = \mathbb{C}$, el centro es exactamente las matrices escalares, por el lema de Schur aplicado a la representación irreducible de $M_n(\mathbb{C})$ sobre $\mathbb{C}^n$.
Example
$3 \cdot \begin{bmatrix}2 & -1\\0 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6 & -3\\0 & 12\end{bmatrix}$, cada entrada multiplicada por $3$. Para $A = \begin{bmatrix}3 & 6\\9 & 12\end{bmatrix}$: $(1/3)A = \begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}$ y $(-1)A = \begin{bmatrix}-3 & -6\\-9 & -12\end{bmatrix}$, escalando la matriz sin cambiar su estructura (rango, patrón de ceros, etc.). La matriz escalar $cI_n$ conmuta con toda matriz en $M_n(F)$, $(cI)A = c(IA) = cA = c(AI) = A(cI)$, el contenido algebraico del lema de Schur para representaciones irreducibles.
Key Insight
Multiplicar una matriz por un escalar escala uniformemente cada entrada, como hacer zoom en una fotografía donde cada píxel cambia por el mismo factor, y la multiplicación escalar junto con la suma de matrices le da a $M_{m,n}$ la estructura de un espacio vectorial, con las matrices como "vectores." El lema de Schur en teoría de representaciones establece que los entrelazadores de representaciones irreducibles son múltiplos escalares de la identidad, la generalización de que el conmutante de $M_n(\mathbb{C})$ son las matrices escalares, con consecuencias de largo alcance en la teoría de representaciones de grupos.