旋转对称
xuán zhuǎn duì chèn
如果一个图形绕其中心旋转某个小于360度的角度后与自身完全相同，那么它就具有旋转对称。
Formula
\text{Minimum rotation angle} = \frac{360}{\text{order}}
Definition
如果绕中心把一个图形旋转 $360/n$ 度就能使其与自身重合，那么这个图形具有阶为 $n$ 的旋转对称，其中 $n$ 是满足此条件的最大整数，所以最小旋转角是 $360/n$ 度；所有正n边形都具有阶为 $n$ 的旋转对称，每个图形在 $360$ 度处都具有"平凡"的阶为 $1$ 的旋转对称。阶为 $2$ 的旋转对称图形同时也具有中心对称。严格地说，旋转 $R_{360/n}$ 是对称群 $\text{Sym}(F)$ 的一个元素，它生成的循环子群同构于 $\mathbb{Z}_n$；与反射结合后，完整的对称群变为二面体群 $D_n$。对于三维物体，绕不同轴的旋转对称生成循环群（$C_n$）、二面体群（$D_n$）、四面体群（$T$）、八面体群（$O$）和二十面体群（$I$）等群；五种柏拉图立体的旋转对称群分别是：四面体的 $T$（$12$ 个元素）、正方体和正八面体的 $O$（$24$ 个元素）、正十二面体和正二十面体的 $I$（$60$ 个元素），这些恰好是 $SO(3)$ 仅有的有限子群。
Example
正方形具有阶为 $4$ 的旋转对称，旋转 $90$、$180$、$270$ 和 $360$ 度后看起来都一样；等边三角形阶为 $3$，正六边形阶为 $6$。正五边形阶为 $5$（最小旋转角 $72$ 度），而非正方形的矩形阶为 $2$（仅 $180$ 度），字母"S"、"N"和"Z"也是如此。
Key Insight
圆具有无穷阶旋转对称，因为任何旋转都能使它与自身重合。阶为 $n$ 的旋转对称意味着图形在循环群 $\mathbb{Z}_n$ 的旋转下保持不变，对 $SO(3)$ 所有有限子群的分类，循环群、二面体群，以及对应于柏拉图立体的三个例外群 $T$、$O$、$I$，以一种完整而优美的方式把群论与立体几何联系了起来。