Simetría Rotacional
Una figura tiene simetría rotacional si se ve idéntica a sí misma después de rotarla un ángulo menor de 360 grados alrededor de su centro.
Formula
\text{Minimum rotation angle} = \frac{360}{\text{order}}
Definition
Una figura tiene simetría rotacional de orden $n$ si rotarla $360/n$ grados alrededor del centro la transforma en sí misma, y $n$ es el mayor entero de este tipo, así que el ángulo mínimo de rotación es $360/n$ grados; todos los n-ágonos regulares tienen simetría rotacional de orden $n$, y toda figura tiene simetría rotacional "trivial" de orden $1$ a $360$ grados. Una figura con simetría rotacional de orden $2$ también tiene simetría puntual. Formalmente, la rotación $R_{360/n}$ es un elemento del grupo de simetría $\text{Sym}(F)$, y el subgrupo cíclico que genera es isomorfo a $\mathbb{Z}_n$; combinado con reflexiones, el grupo de simetría completo se convierte en el grupo diedral $D_n$. Para objetos 3D, la simetría rotacional alrededor de diferentes ejes genera grupos como los cíclicos ($C_n$), diedrales ($D_n$), tetraédricos ($T$), octaédricos ($O$), e icosaédricos ($I$); los cinco sólidos platónicos tienen grupos de simetría rotacional $T$ ($12$ elementos) para el tetraedro, $O$ ($24$ elementos) para el cubo y el octaedro, e $I$ ($60$ elementos) para el dodecaedro y el icosaedro, y estos son los únicos subgrupos finitos de $SO(3)$.
Example
Un cuadrado tiene simetría rotacional de orden $4$, luciendo igual después de giros de $90$, $180$, $270$ y $360$ grados; un triángulo equilátero tiene orden $3$, y un hexágono regular tiene orden $6$. Un pentágono regular tiene orden $5$ (rotación mínima $72$ grados), mientras que un rectángulo que no es un cuadrado tiene orden $2$ ($180$ grados solamente), al igual que las letras "S," "N," y "Z."
Key Insight
Un círculo tiene simetría rotacional infinita, ya que cualquier rotación lo transforma en sí mismo. La simetría rotacional de orden $n$ significa que la figura es invariante bajo el grupo cíclico $\mathbb{Z}_n$ de rotaciones, y la clasificación de todos los subgrupos finitos de $SO(3)$, cíclicos, diedrales, y los tres grupos excepcionales $T$, $O$, $I$ correspondientes a los sólidos platónicos, conecta la teoría de grupos con la geometría sólida de manera completa y hermosa.