升/跑法
shēng/pǎo fǎ
升/跑法是描述斜率的一种方式：直线上两点间竖直变化量（升）除以水平变化量（跑）。
Formula
\text{slope} = \frac{\text{rise}}{\text{run}}
Definition
升/跑法是求斜率的一种简单方法："升"是两点之间上下移动的单位数，"跑"是向右移动的单位数，斜率就等于升除以跑。向上为正，向下为负，而跑则始终按向右（正方向）来度量。这正是差商 $(f(x + h) - f(x))/h$ 当 $h$ 趋近于 $0$ 时的几何解释，而差商正是导数的定义；对线性函数 $f(x) = mx + b$ 而言，无论 $h$ 取何值，差商都等于 $m$，这证实了一条直线的斜率处处不变。
Example
向上移动 $4$ 个单位、向右移动 $2$ 个单位，得到斜率 $4/2 = 2$；向下移动 $3$ 个单位、向右移动 $1$ 个单位，得到斜率 $-3/1 = -3$。从 $(2, 1)$ 到 $(5, 7)$，升 $= 7 - 1 = 6$，跑 $= 5 - 2 = 3$，所以斜率 $= 6/3 = 2$，与公式 $(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$ 相符。对 $f(x) = 3x + 1$ 而言，$(f(x+h) - f(x))/h = 3h/h = 3$，即升/跑的值，与 $x$ 和 $h$ 无关。
Key Insight
想象爬山：升是你爬升的高度，跑是你向前走的距离，陡峭的山坡意味着较小的跑对应较大的升。你可以直接在图上选取两个清晰的格点，数一数上下（或下降）和左右的格数，就能读出斜率。这一想法的差商版本，正是取极限意义下的升/跑，而线性函数是唯一一种比值处处不变的函数，这也正是它们拥有唯一确定斜率的原因。