Elevación sobre Desplazamiento
Elevación sobre desplazamiento es una manera de describir la pendiente: el cambio vertical (elevación) dividido entre el cambio horizontal (desplazamiento) entre dos puntos de una línea.
Formula
\text{slope} = \frac{\text{rise}}{\text{run}}
Definition
Elevación sobre desplazamiento es una manera sencilla de hallar la pendiente: la "elevación" es cuántas unidades te mueves hacia arriba o hacia abajo entre dos puntos, y el "desplazamiento" es cuántas unidades te mueves hacia la derecha, así que la pendiente es igual a la elevación dividida entre el desplazamiento. La elevación es positiva al subir y negativa al bajar, mientras que el desplazamiento siempre se mide en la dirección positiva (hacia la derecha). Esta es la interpretación geométrica del cociente de diferencias $(f(x + h) - f(x))/h$ cuando $h$ se aproxima a $0$, que define la derivada; para una función lineal $f(x) = mx + b$, el cociente de diferencias es igual a $m$ para todo $h$, confirmando que la pendiente de una línea es constante en todas partes.
Example
Moverse $4$ unidades hacia arriba y $2$ unidades a la derecha da una pendiente de $4/2 = 2$; moverse $3$ hacia abajo y $1$ a la derecha da una pendiente de $-3/1 = -3$. De $(2, 1)$ a $(5, 7)$, la elevación $= 7 - 1 = 6$ y el desplazamiento $= 5 - 2 = 3$, así que la pendiente $= 6/3 = 2$, coincidiendo con la fórmula $(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$. Para $f(x) = 3x + 1$, $(f(x+h) - f(x))/h = 3h/h = 3$, la elevación sobre el desplazamiento, independiente de $x$ y de $h$.
Key Insight
Imagina subir una colina: la elevación es qué tan alto subes, el desplazamiento es qué tan lejos caminas hacia adelante, y una colina empinada tiene una gran elevación para un pequeño desplazamiento. Puedes leer la pendiente directamente de una gráfica eligiendo dos puntos reticulares claros sobre la línea y contando hacia arriba (o abajo) y a lo largo. La versión de esta idea en el cociente de diferencias es exactamente la elevación sobre el desplazamiento en el límite, y las funciones lineales son las únicas donde la razón es constante en todas partes, razón por la cual tienen una única pendiente bien definida.