刚体运动
gāng tǐ yùn dòng
刚体运动是一种保持距离和角度不变的变换，因此像恒与原像全等。
Definition
刚体运动是一种不改变图形大小或形状的变换：三种基本刚体运动是平移（滑动）、反射（翻转）和旋转（转动），图形经过刚体运动后与原图形恒全等。严格地说，刚体运动（等距变换）保持所有距离不变，对任意两点 $A$ 和 $B$，距离 $AB$ 等于它们的像之间的距离 $A'B'$；平面的四种等距变换是平移、旋转、反射和滑移反射（一个反射复合上一个沿镜像线方向的平移）。$\mathbb{R}^2$ 的等距变换是仿射映射 $T(x) = Ax + b$，其中 $A$ 是正交矩阵（$A^TA = I$）；若 $\det(A) = 1$，$T$ 保持方向（平移或旋转）；若 $\det(A) = -1$，则反转方向（反射或滑移反射）。所有这类等距变换的群就是欧几里得群 $E(2)$。
Example
滑动、翻转或转动一块拼图，都是刚体运动：这块拼图从不会变大或变小，恒保持精确的形状，这就是为什么拼图无论怎么移动都能拼合。滑移反射把左脚印映射成右脚印，再映射回来，形成沙地上的脚印图案。马祖尔-乌拉姆定理把这个思想推广到无穷维空间：赋范空间之间任意满射等距映射都是仿射的，说明即使不预设线性，保距性也迫使映射几乎是线性的。
Key Insight
位似变换不是刚体运动，因为它会改变大小；只有那些在所有点对之间精确保持距离的变换才符合刚体运动的条件，两个图形全等当且仅当一个图形可以通过一次刚体运动得到另一个图形。全等判定定理（SSS、SAS等等）本质上就是描述这样一个刚体运动何时存在。在黎曼几何中，曲面的等距变换是保距的微分同胚；在球面上，等距变换群是 $O(3)$，理解几何空间的等距变换群，在微分几何、晶体学以及对称空间的分类中都是核心内容。