Movimiento Rígido
Un movimiento rígido es una transformación que preserva las distancias y las medidas de los ángulos, por lo que la imagen siempre es congruente con la preimagen.
Definition
Un movimiento rígido es una transformación que mueve una figura sin cambiar su tamaño ni su forma: los tres movimientos rígidos básicos son las traslaciones (deslizamientos), las reflexiones (volteos) y las rotaciones (giros), y una figura y su imagen siempre son congruentes después de un movimiento rígido. Formalmente, un movimiento rígido (isometría) preserva todas las distancias, para cualesquiera dos puntos $A$ y $B$, la distancia $AB$ es igual a la distancia $A'B'$ entre sus imágenes; las cuatro isometrías del plano son las traslaciones, las rotaciones, las reflexiones, y las reflexiones con deslizamiento (una reflexión compuesta con una traslación a lo largo de la línea del espejo). Una isometría de $\mathbb{R}^2$ es una aplicación afín $T(x) = Ax + b$ donde $A$ es ortogonal ($A^TA = I$); si $\det(A) = 1$, $T$ preserva la orientación (traslación o rotación), y si $\det(A) = -1$, invierte la orientación (reflexión o reflexión con deslizamiento). El grupo de todas estas isometrías es el grupo euclidiano $E(2)$.
Example
Deslizar, voltear o girar una pieza de rompecabezas son todos movimientos rígidos: la pieza nunca se agranda ni se encoge y siempre conserva su forma exacta, razón por la cual las piezas de rompecabezas siempre encajan sin importar cómo las muevas. Una reflexión con deslizamiento transforma una huella izquierda en una derecha y viceversa, formando el patrón de huellas en la arena. El teorema de Mazur-Ulam extiende esta idea a espacios de dimensión infinita: toda isometría sobreyectiva entre espacios normados es afín, mostrando que preservar la distancia obliga a una casi-linealidad incluso sin suponer linealidad.
Key Insight
La dilatación NO es un movimiento rígido porque cambia el tamaño; solo las transformaciones que preservan las distancias exactas entre todos los pares de puntos califican, y dos figuras son congruentes si y solo si una puede obtenerse de la otra mediante un movimiento rígido. Los teoremas de congruencia (LLL, LAL, y así sucesivamente) son esencialmente descripciones de cuándo existe tal movimiento rígido. En geometría de Riemann, las isometrías de superficies curvas son difeomorfismos que preservan la distancia; en la esfera el grupo de isometrías es $O(3)$, y entender los grupos de isometrías de espacios geométricos es central para la geometría diferencial, la cristalografía y la clasificación de espacios simétricos.