直角三角形
zhí jiǎo sān jiǎo xíng
直角三角形有一个角恰好是 $90^\circ$，它的边满足勾股定理：$a^2 + b^2 = c^2$。
Formula
a^2 + b^2 = c^2 \text{ (Pythagorean theorem)}
Definition
直角三角形有一个角恰好是直角($90^\circ$)；构成该角的两条边是直角边，与直角相对的边是斜边。勾股定理指出 $a^2+b^2=c^2$，两个锐角互余，三角比(正弦、余弦、正切)就是用直角三角形定义的。它可以内接于半圆(泰勒斯定理：内接于半圆的任何三角形都是直角三角形)，几何平均关系也成立：斜边上的高 $h$ 满足 $h^2=pq$，其中 $a^2=pc$，$b^2=qc$，$p, q$ 为斜边被分成的两段。
Example
边长为 $3, 4$ 和 $5$ 的三角形是直角三角形：$3^2+4^2=9+16=25=5^2$，$5$ 为斜边；靠在墙上的坡道就构成一个直角三角形。腰长为 $1$ 的 $45$-$45$-$90$ 三角形斜边为 $\sqrt{2}$，短直角边为 $1$ 的 $30$-$60$-$90$ 三角形长直角边为 $\sqrt{3}$，斜边为 $2$。对于直角边 $6, 8$，斜边 $10$：斜边上的高为 $h=(6\cdot8)/10=4.8$，斜边被分成的两段为 $p=3.6$ 和 $q=6.4$，确实 $pq=23.04=4.8^2$。
Key Insight
勾股定理只对直角三角形成立，这种边之间的特殊关系正是直角三角形成为整个三角学基础的原因，因为每一个三角比都是在直角三角形中定义为边之比的。泰勒斯定理，即内接于半圆的任何角都是直角，是 $180^\circ$ 弧情形下圆周角定理的逆命题，说明内接于给定直径的所有直角三角形恰好构成这个半圆本身，将代数形式的勾股条件与圆的几何联系了起来。