Triángulo Rectángulo
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo que mide exactamente $90^\circ$, y sus lados cumplen el teorema de Pitágoras: $a^2 + b^2 = c^2$.
Formula
a^2 + b^2 = c^2 \text{ (Pythagorean theorem)}
Definition
Un triángulo rectángulo tiene una esquina que es exactamente un ángulo recto ($90^\circ$); los dos lados que lo forman son los catetos, y el lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa. El teorema de Pitágoras establece $a^2+b^2=c^2$, los dos ángulos agudos son complementarios, y las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) se definen usando triángulos rectángulos. Puede inscribirse en un semicírculo (teorema de Tales: todo triángulo inscrito en un semicírculo es un triángulo rectángulo), y se cumplen relaciones de media geométrica: la altura sobre la hipotenusa $h$ satisface $h^2=pq$, con $a^2=pc$ y $b^2=qc$ para los dos segmentos $p, q$ de la hipotenusa.
Example
Un triángulo con lados $3, 4$ y $5$ es un triángulo rectángulo: $3^2+4^2=9+16=25=5^2$, con $5$ como hipotenusa; una rampa apoyada contra una pared forma un triángulo rectángulo. Un triángulo $45$-$45$-$90$ con catetos $1$ tiene hipotenusa $\sqrt{2}$, y un triángulo $30$-$60$-$90$ con cateto corto $1$ tiene cateto largo $\sqrt{3}$ e hipotenusa $2$. Para catetos $6, 8$ e hipotenusa $10$: la altura sobre la hipotenusa es $h=(6\cdot8)/10=4.8$, con segmentos de hipotenusa $p=3.6$ y $q=6.4$, y en efecto $pq=23.04=4.8^2$.
Key Insight
El teorema de Pitágoras solo funciona para triángulos rectángulos, y esta relación especial entre los lados es lo que convierte a los triángulos rectángulos en el fundamento de toda la trigonometría, ya que cada razón trigonométrica se define como una razón de lados en uno de ellos. El teorema de Tales, que dice que todo ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto, es el recíproco del teorema del ángulo inscrito para arcos de $180^\circ$, mostrando que el conjunto de triángulos rectángulos inscritos sobre un diámetro dado es exactamente el semicírculo mismo, conectando la condición algebraica de Pitágoras con el círculo geométrico.