黎曼和
lí màn hé
黎曼和通过把图形下方许多细窄矩形的面积相加,来近似曲线下的面积。
Formula
S = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \, \Delta x
Definition
黎曼和用许多细窄的矩形填满一个区域，再把它们的面积加起来，从而估计曲线下的面积；用的矩形越多，估计就越精确。严格地说，它是 $\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \, \Delta x$，其中区间 $[a,b]$ 被划分为 $n$ 个宽度为 $\Delta x = (b-a)/n$ 的子区间，$x_i^*$ 是第 $i$ 个子区间中的一个取样点（左端点、右端点或中点的和，取决于 $x_i^*$ 的选取方式）。使用网格为 $\|P\|$ 的任意分割，$f$ 黎曼可积当且仅当对任意 $\epsilon > 0$，都存在 $\delta$，使得 $\|P\| < \delta$ 蕴含任意黎曼和 $S$ 与积分 $L$ 满足 $|S - L| < \epsilon$；勒贝格判据指出，$f$ 黎曼可积当且仅当它有界，且其间断点集合的测度为零。
Example
要估计 $y = x^2$ 从 $0$ 到 $2$ 之间的面积，把它分成 $4$ 条宽度为 $0.5$ 的窄条，加上左端点矩形的面积：$0(0.5) + 0.25(0.5) + 1(0.5) + 2.25(0.5) = 1.75$，相对于精确值 $8/3 \approx 2.67$。取 $n=4$ 的右黎曼和给出 $x_i^* = 0.5, 1, 1.5, 2$，和为 $(0.25 + 1 + 2.25 + 4)(0.5) = 3.75$，同样在逼近 $8/3$。上和（使用上确界）与下和（使用下确界）把积分夹在中间，$f$ 可积当且仅当 $\inf(\text{upper sums}) = \sup(\text{lower sums})$，这就是达布判据。
Key Insight
黎曼和展示了积分是如何运作的：从离散的矩形碎片构建出一个连续的面积；中点法则通常比左和或右和更精确，把左和与右和取平均则得到梯形法则。黎曼和是数值积分（求积法）的概念基础，高斯求积则优化取样点的选择，以在最少的求值次数下达到多项式精确的积分。