Suma de Riemann
Una suma de Riemann aproxima el área bajo una curva sumando las áreas de muchos rectángulos delgados colocados bajo la gráfica.
Formula
S = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \, \Delta x
Definition
Una suma de Riemann estima el área bajo una curva llenando la región con muchos rectángulos delgados y sumando sus áreas; cuantos más rectángulos uses, más precisa será la estimación. Formalmente, es $\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \, \Delta x$, donde el intervalo $[a,b]$ se divide en $n$ subintervalos de ancho $\Delta x = (b-a)/n$ y $x_i^*$ es un punto muestral en el $i$-ésimo subintervalo (las sumas por la izquierda, por la derecha o del punto medio difieren en la elección de $x_i^*$). Usando una partición arbitraria con malla $\|P\|$, $f$ es integrable Riemann si y solo si para todo $\epsilon > 0$ existe $\delta$ tal que $\|P\| < \delta$ implica $|S - L| < \epsilon$ para cualquier suma de Riemann $S$ e integral $L$; el criterio de Lebesgue establece que $f$ es integrable Riemann si y solo si es acotada y su conjunto de discontinuidades tiene medida cero.
Example
Para estimar el área bajo $y = x^2$ de $0$ a $2$, divide en $4$ franjas de ancho $0.5$ y suma las áreas de los rectángulos con borde izquierdo: $0(0.5) + 0.25(0.5) + 1(0.5) + 2.25(0.5) = 1.75$, comparado con el valor exacto $8/3 \approx 2.67$. Una suma de Riemann por la derecha con $n=4$ da $x_i^* = 0.5, 1, 1.5, 2$ y suma $(0.25 + 1 + 2.25 + 4)(0.5) = 3.75$, aproximando aún el mismo $8/3$. Las sumas superiores (usando supremos) y las sumas inferiores (usando ínfimos) acotan la integral, y $f$ es integrable si y solo si $\inf(\text{upper sums}) = \sup(\text{lower sums})$, el criterio de Darboux.
Key Insight
Las sumas de Riemann muestran CÓMO funciona la integración, construyendo un área continua a partir de piezas rectangulares discretas; la regla del punto medio típicamente es más precisa que las sumas por la izquierda o la derecha, y promediar las sumas por la izquierda y por la derecha da la regla del trapecio. Las sumas de Riemann son el fundamento conceptual de la integración numérica (cuadratura), y la cuadratura Gaussiana optimiza la elección de los puntos muestrales para lograr integración exacta de polinomios con evaluaciones mínimas.