菱形
líng xíng
菱形是四条边长度都相等的平行四边形，其对角线互相垂直且互相平分。
Formula
\text{Area} = (d_1 d_2)/2 \text{ (where } d_1, d_2 \text{ are diagonal lengths)}
Definition
菱形是一个四边形，其四条边长度都相等，就像一个倾斜的正方形；正方形是所有角也都是 $90^\circ$ 的特殊菱形。严格来说，它是相邻边向量满足 $|u|=|v|$ 的平行四边形，其对角线 $u+v$ 和 $u-v$ 互相垂直，因为 $(u+v)\cdot(u-v)=|u|^2-|v|^2=0$；面积 $=(d_1 d_2)/2$，非正方形菱形的对称群是 $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$。
Example
扑克牌上的方块图案是菱形，菱形看起来可以像一个向一侧倾斜的正方形；如果每条边都是 $5$ 厘米，无论角度如何它都是菱形。边长为 $10$，一个角为 $60^\circ$：对角也是 $60^\circ$，另一对角为 $120^\circ$，较短的对角线等于边长($10$)，较长的对角线为 $10\sqrt{3}$，面积为 $(10\times10\sqrt{3})/2=50\sqrt{3}\approx86.6$。对于 $u=(3,0)$，$v=(0,3)$(一个正方形)：对角线 $(3,3)$ 和 $(3,-3)$ 互相垂直，面积 $=(3\sqrt{2})(3\sqrt{2})/2=9=3^2$。
Key Insight
"菱形"(rhombus)一词在希腊语中意为"陀螺"，它的对角线总是以直角相交，正是这一性质使面积公式(将两条对角线相乘再除以 $2$)成立。菱形处于两大四边形家族的交汇处：平行四边形(对边平行)和筝形(两对相邻边相等)，使它成为四边形层级中的一个核心节点，而正方形不过是一个同时也是矩形的菱形。