Rombo
Un rombo es un paralelogramo con los cuatro lados de igual longitud, cuyas diagonales son perpendiculares y se bisecan mutuamente.
Formula
\text{Area} = (d_1 d_2)/2 \text{ (where } d_1, d_2 \text{ are diagonal lengths)}
Definition
Un rombo es una figura de cuatro lados donde los cuatro lados tienen la misma longitud, como un cuadrado inclinado; un cuadrado es el rombo especial donde todos los ángulos también son $90^\circ$. Formalmente, es un paralelogramo con $|u|=|v|$ para sus vectores de lado adyacentes, cuyas diagonales $u+v$ y $u-v$ son perpendiculares porque $(u+v)\cdot(u-v)=|u|^2-|v|^2=0$; área $=(d_1 d_2)/2$, y su grupo de simetría (para un rombo que no es cuadrado) es $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$.
Example
La forma de un diamante en una carta de baraja es un rombo, y un rombo puede parecer un cuadrado inclinado hacia un lado; si cada lado mide $5$ cm, es un rombo sin importar los ángulos. Con lado $10$ y un ángulo de $60^\circ$: el ángulo opuesto también es $60^\circ$, el otro par $120^\circ$, la diagonal más corta es igual al lado ($10$), la diagonal más larga es $10\sqrt{3}$, dando área $(10\times10\sqrt{3})/2=50\sqrt{3}\approx86.6$. Para $u=(3,0)$, $v=(0,3)$ (un cuadrado): las diagonales $(3,3)$ y $(3,-3)$ son perpendiculares, con área $=(3\sqrt{2})(3\sqrt{2})/2=9=3^2$.
Key Insight
La palabra "rombo" significa "trompo giratorio" en griego, y sus diagonales siempre se cruzan en ángulos rectos, una propiedad que hace que funcione la fórmula del área (multiplicar las diagonales y dividir entre $2$). El rombo se encuentra en la intersección de dos familias de cuadriláteros: paralelogramos (lados opuestos paralelos) y cometas (dos pares de lados adyacentes iguales), lo que lo convierte en un nodo central en la jerarquía de cuadriláteros, y un cuadrado es simplemente un rombo que también es un rectángulo.