循环小数
xún huán xiǎo shù
循环小数是小数点后一个或多个数字按规律无限重复出现的小数。
Definition
循环小数是指小数点后某个数字或一组数字不断永远重复出现的小数；我们在重复部分上面画一条横线（循环节符号）表示它一直延续下去，所以$0.333\ldots$写作$0.\overline{3}$。形式上，循环小数含有一个无限循环的数字块（循环节），每个循环小数都表示一个有理数，而每个有理数都有一个循环（或有限）的小数展开。最简形式的有理数$p/q$具有纯循环展开当且仅当$\gcd(q, 10) = 1$；否则它会有一段长度为$\max(v_2(q), v_5(q))$的非循环部分，随后是一段长度等于$10$对$q' = q/(2^{v_2(q)} \cdot 5^{v_5(q)})$取模的乘法阶的循环块。
Example
$1/3 = 0.333\ldots$（$3$不断重复）和$2/11 = 0.181818\ldots$（$18$不断重复），写作$0.\overline{3}$和$0.\overline{18}$。要把循环小数转回分数：设$x = 0.2727\ldots$，则$100x = 27.2727\ldots$，相减得$99x = 27$，所以$x = 27/99 = 3/11$。对于$1/12$：由于$12 = 2^2 \times 3$，非循环部分长度为$\max(2,0) = 2$，而$q' = 3$的$\text{ord}_3(10) = 1$，所以$1/12 = 0.08\overline{3}$，两位非循环数字后跟一个长度为$1$的循环。
Key Insight
每个分数在做除法时最终都会变成有限小数或循环小数，因为除法过程必然会重复，因为可能出现的余数是有限的。质数$p$（$p \neq 2$或$5$）对应的$1/p$的循环节长度等于$10$对$p$取模的乘法阶，这是数论中的一个结果；对于$1/7$，$\text{ord}_7(10) = 6$，所以循环节长度是$6$位数字（$142857$）。循环小数理论实际上等价于$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$上线性递推数列的理论，伯利坎普-梅西算法可以找到任意数列的最小循环模式，把初等分数算术与现代数列分析及编码理论联系了起来。