Decimal Periódico
Un decimal periódico es un decimal en el que uno o más dígitos después del punto decimal se repiten infinitamente siguiendo un patrón regular.
Definition
Un decimal periódico es un decimal donde un dígito o grupo de dígitos se repite para siempre después del punto decimal; escribimos una barra (vínculo) sobre la parte que se repite para mostrar que continúa indefinidamente, así que $0.333\ldots$ se escribe $0.\overline{3}$. Formalmente, un decimal periódico tiene un bloque de dígitos (el periodo) que se repite infinitamente, y todo decimal periódico representa un número racional mientras que todo número racional tiene una expansión decimal periódica (o finita). Un racional $p/q$ en mínima expresión tiene una expansión puramente periódica si y solo si $\gcd(q, 10) = 1$; de lo contrario tiene una parte inicial no periódica de longitud $\max(v_2(q), v_5(q))$ seguida de un bloque periódico de longitud igual al orden multiplicativo de $10$ módulo $q' = q/(2^{v_2(q)} \cdot 5^{v_5(q)})$.
Example
$1/3 = 0.333\ldots$ (el $3$ se repite) y $2/11 = 0.181818\ldots$ (el $18$ se repite), escritos $0.\overline{3}$ y $0.\overline{18}$. Para convertir un decimal periódico de vuelta a fracción: sea $x = 0.2727\ldots$, entonces $100x = 27.2727\ldots$, y al restar se obtiene $99x = 27$, así que $x = 27/99 = 3/11$. Para $1/12$: como $12 = 2^2 \times 3$, la parte no periódica tiene longitud $\max(2,0) = 2$ y $q' = 3$ tiene $\text{ord}_3(10) = 1$, así que $1/12 = 0.08\overline{3}$, dos dígitos no periódicos seguidos de un periodo de longitud $1$.
Key Insight
Toda fracción eventualmente se convierte en un decimal finito o en un decimal periódico al dividir, porque el proceso de división debe eventualmente repetirse, solo hay un número limitado de residuos posibles. La longitud del bloque periódico de $1/p$ (para un primo $p \neq 2$ o $5$) es igual al orden multiplicativo de $10$ módulo $p$, un resultado de teoría de números; para $1/7$, $\text{ord}_7(10) = 6$, así que la longitud del periodo es $6$ dígitos ($142857$). La teoría de los decimales periódicos es de hecho equivalente a la teoría de las recurrencias lineales sobre $\mathbb{Z}/10\mathbb{Z}$, y el algoritmo de Berlekamp-Massey puede encontrar el patrón periódico mínimo de cualquier sucesión, conectando la aritmética elemental de fracciones con el análisis moderno de secuencias y la teoría de códigos.