余数
yú shù
余数是当除法不能整除时，一个整数除以另一个整数后剩下的部分。
Formula
a = b \times q + r, \text{ where } 0 \le r < b
Definition
余数是尽可能平均地分配之后剩下来的部分；它总是小于用来做除数的那个数。根据带余除法定理，对整数 $a$ 和 $b$（$b > 0$），存在唯一的整数 $q$（商）和 $r$（余数），满足 $a = bq + r$ 且 $0 \le r < b$；余数记作 $a \bmod b$，若 $r = 0$，则 $b \mid a$。这定义了一种等价关系：若 $n \mid (a - b)$，则称 $a$ 与 $b$ 模 $n$ 同余（记作 $a \equiv b \pmod n$），所有同余类构成环 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。
Example
$17 / 5 = 3$ 余 $2$：$5$ 能装入 $17$ 中三次（$= 15$），剩下 $17 - 15 = 2$。$23 \bmod 7 = 2$（因为 $23 = 7 \times 3 + 2$），$56 \bmod 8 = 0$，验证了 $8$ 能整除 $56$。RSA 加密正是依靠模幂运算实现这一思想：$c = m^e \bmod n$，解密则通过 $d = c^d \bmod n$（其中 $ed \equiv 1 \pmod{\phi(n)}$）完成，其安全性依赖于分解 $n = pq$ 的困难程度。
Key Insight
如果余数为 $0$，说明除法能够整除，除数是被除数的一个因数；否则，除数不能整除被除数。余数（取模运算）是钟表运算的基础：钟点数按模 $12$ 计算，所以 $5$ 点之后 $10$ 小时是 $(5 + 10) \bmod 12 = 3$ 点。中国剩余定理将此进一步推广，指出若 $\gcd(m, n) = 1$，则方程组 $x \equiv a \pmod m$、$x \equiv b \pmod n$ 在模 $mn$ 意义下有唯一解，而模运算更广泛地支撑着现代密码学、哈希函数、纠错编码以及伪随机数生成器。