Resto
El resto es la cantidad que sobra al dividir un entero entre otro cuando la división no es exacta.
Formula
a = b \times q + r, \text{ where } 0 \le r < b
Definition
El resto es lo que sobra después de dividir de la manera más equitativa posible; siempre es menor que el número entre el cual dividiste. Por el Algoritmo de la División, para enteros $a$ y $b$ ($b > 0$), existen enteros únicos $q$ (cociente) y $r$ (resto) tales que $a = bq + r$ y $0 \le r < b$; el resto se denota $a \bmod b$, y si $r = 0$ entonces $b \mid a$. Esto define una relación de equivalencia: $a$ es congruente con $b$ módulo $n$ (escrito $a \equiv b \pmod n$) si $n \mid (a - b)$, y las clases de congruencia forman el anillo $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
Example
$17 / 5 = 3$ resto $2$: el cinco cabe en el $17$ tres veces ($= 15$), y $17 - 15 = 2$ sobra. $23 \bmod 7 = 2$ (ya que $23 = 7 \times 3 + 2$), y $56 \bmod 8 = 0$, confirmando que $8$ divide a $56$. El cifrado RSA se basa en esta idea a través de la exponenciación modular, $c = m^e \bmod n$, con desciframiento mediante $d = c^d \bmod n$ donde $ed \equiv 1 \pmod{\phi(n)}$, apoyando su seguridad en la dificultad de factorizar $n = pq$.
Key Insight
Si el resto es $0$, la división es exacta y el divisor es un factor del dividendo; si no, el divisor no divide al dividendo de manera exacta. El resto (la operación módulo) es el fundamento de la aritmética del reloj: las horas se calculan módulo $12$, así que $10$ horas después de las $5$ en punto son $(5 + 10) \bmod 12 = 3$ en punto. El Teorema Chino del Resto extiende esto, estableciendo que si $\gcd(m, n) = 1$, el sistema $x \equiv a \pmod m$, $x \equiv b \pmod n$ tiene una solución única módulo $mn$, y la aritmética modular, más ampliamente, sustenta la criptografía moderna, las funciones hash, los códigos de corrección de errores, y los generadores de números pseudoaleatorios.