正多边形
zhèng duō biān xíng
正多边形的所有边长度相等，所有内角度数也相等。
Formula
\text{Each interior angle} = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}
Definition
正多边形的所有边长度相等，并且所有角大小也相等；等边三角形和正方形都是正多边形。对于 $n$ 条边的正多边形：每个内角 $=(n-2)\times180/n$ 度，每个外角 $=360/n$ 度，它有 $n$ 条对称轴和 $n$ 重旋转对称性。它的顶点位于单位圆上的 $\{e^{2\pi i k/n} : k=0,\ldots,n-1\}$($n$ 次单位根)，对称群是 $2n$ 阶二面体群 $D_n$，面积为 $(ns^2)/(4\tan(\pi/n))$(边长为 $s$)，当且仅当 $n$ 是 $2$ 的幂与不同费马素数的乘积时，它才能用圆规和直尺作出(高斯-旺策尔定理)。
Example
停车让行标志是正八边形，全部 $8$ 条边和角都相等；蜜蜂蜂巢的巢室是正六边形。对于正六边形：内角 $=(6-2)\times180/6=120^\circ$，外角 $=60^\circ$；等边三角形、正方形和正六边形是仅有的能单独铺满平面的正多边形，因为 $60\times6=90\times4=120\times3=360$。正五边形内角为 $108^\circ$，面积为 $(5s^2\sqrt{5+2\sqrt{5}})/4$，由于 $5=2^2+1$ 是费马素数，所以可以作图，而正 $7$ 边形则不能，因为 $7$ 不是费马素数。
Key Insight
正多边形的边数越多，就越接近于圆，圆可以看作是边数无穷多的正多边形。高斯在 $18$ 岁时证明了正 $17$ 边形可以作图($17=2^4+1$ 是费马素数)，这是数论(素数的性质)与几何(可作图性)之间一个出人意料的联系，至今仍是连接代数与几何最引人注目的结果之一。