Polígono Regular
Un polígono regular tiene todos los lados de igual longitud y todos los ángulos interiores de igual medida.
Formula
\text{Each interior angle} = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}
Definition
Un polígono regular tiene todos los lados de la misma longitud Y todos los ángulos del mismo tamaño; un triángulo equilátero y un cuadrado son ambos polígonos regulares. Para un polígono regular de $n$ lados: cada ángulo interior $=(n-2)\times180/n$ grados, cada ángulo exterior $=360/n$ grados, y tiene $n$ ejes de simetría y simetría rotacional de orden $n$. Sus vértices se ubican en $\{e^{2\pi i k/n} : k=0,\ldots,n-1\}$ sobre el círculo unitario (raíces $n$-ésimas de la unidad), su grupo de simetría es el grupo diedral $D_n$ de orden $2n$, su área es $(ns^2)/(4\tan(\pi/n))$ para el lado de longitud $s$, y es construible con compás y regla si y solo si $n$ es un producto de una potencia de $2$ y primos de Fermat distintos (el teorema de Gauss-Wantzel).
Example
Una señal de alto es un octágono regular, con los $8$ lados y ángulos iguales; una celda del panal de una abeja es un hexágono regular. Para un hexágono regular: ángulo interior $=(6-2)\times180/6=120^\circ$, ángulo exterior $=60^\circ$; el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular son los únicos polígonos regulares que teselan el plano por sí solos, ya que $60\times6=90\times4=120\times3=360$. Un pentágono regular tiene ángulo interior $108^\circ$ y área $(5s^2\sqrt{5+2\sqrt{5}})/4$, y es construible ya que $5=2^2+1$ es un primo de Fermat, mientras que un $7$-gono regular no lo es, ya que $7$ no es un primo de Fermat.
Key Insight
Cuantos más lados tiene un polígono regular, más se parece a un círculo, que puede pensarse como un polígono regular con infinitos lados. Gauss demostró a los $18$ años que el $17$-gono regular es construible ($17=2^4+1$ es un primo de Fermat), un vínculo inesperado entre la teoría de números (propiedades de los primos) y la geometría (constructibilidad) que sigue siendo uno de los resultados más sorprendentes que unen el álgebra y la geometría.